De modo a analisar o escoamento de óleo na perfuraçāo em águas profundas, um engenheiro decidiu efetuar um cálculo das linhas de corrente do escoamento. Observou-se um campo de velocidade via medições com anemômetros, e aproximou-se este campo para a seguinte série:
Entretanto, esta aproximação só pode ser utilizada caso se garanta a convergência da série. Utilizando o teste da razāo, discorra sobre a possibilidade da utilizaçāo desta série como aproximação para o campo de velocidade.
Teste da Razão:
Para uma série:
Onde
, para qualquer
, tem-se:
Caso:
-
, a série converge;
-
, a série diverge:
-
, não é possível afirmar se a série converge ou diverge;
Passo 1
O enunciado nos dá uma “série de vetores”
e pede para testar a convergência pelo teste da razão. O conteúdo é séries numéricas (componentes escalares) e vamos aplicar o teste da razão em cada componente, lembrando que uma série de vetores converge se e somente se cada componente escalar converge.
Passo 2
Separemos as duas séries escalares:
A série vetorial
convergirá só se
e
convergirem separadamente.
Passo 3
Aplicando o teste da razão à primeira série
:
Como
, o teste da razão é inconclusivo, mas sabemos diretamente que
diverge (termos não tendem a zero).
Passo 4
Concluímos imediatamente que
diverge, pois o termo geral não tende a zero. Logo a série vetorial já não converge, mas continuemos a análise da segunda componente por completude.
Passo 5
Teste da razão para
:
De novo
e o teste da razão é inconclusivo para
.
Passo 6
Para
devemos recorrer ao teste da série-p:
e diverge se
. Mas pelo teste da razão não obtivemos essa informação.
Passo 7
Como a primeira componente já diverge e o teste da razão não garante convergência de nenhuma das duas, a série vetorial
não é uma aproximação válida para um campo de velocidade convergente, exceto que nem consideremos a componente constante. Mesmo assim, a segunda só convergiria em
, o que normalmente não ocupa interesse físico aqui.
Resposta
Pelo teste da razão obtemos
em ambas as componentes (inconclusivo), mas
diverge imediatamente e
só converge se
. Portanto, não se garante convergência da série para uso como aproximação do campo de velocidade.