De modo a analisar o escoamento de óleo na perfuraçāo em águas profundas, um engenheiro decidiu efetuar um cálculo das linhas de corrente do escoamento. Observou-se um campo de velocidade via medições com anemômetros, e aproximou-se este campo para a seguinte série:
\mathbf{u}=\sum_{n \geq 1}^{\infty} \begin{gathered} 1 \\\ n^{x} \end{gathered}
Entretanto, esta aproximação só pode ser utilizada caso se garanta a convergência da série. Utilizando o teste da razāo, discorra sobre a possibilidade da utilizaçāo desta série como aproximação para o campo de velocidade.

Teste da Razão:

Para uma série:
\sum_{n \geq 1}^{\infty} x_{n}
Onde x_{n} \neq 0, para qualquer n \geq 1, tem-se:
L=\lim _{n \rightarrow \infty} \begin{gathered} x_{n+1} \\\ x_{n} \end{gathered}
Caso:
  • L<1, a série converge;
  • L>1, a série diverge:
  • L=1, não é possível afirmar se a série converge ou diverge;

Passo 1

O enunciado nos dá uma “série de vetores”
\mathbf{u} \;=\;\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{u}_{n} \quad\text{com}\quad \mathbf{u}_{n} = \begin{pmatrix} 1\\\ n^{x} \end{pmatrix}
e pede para testar a convergência pelo teste da razão. O conteúdo é séries numéricas (componentes escalares) e vamos aplicar o teste da razão em cada componente, lembrando que uma série de vetores converge se e somente se cada componente escalar converge.

Passo 2

Separemos as duas séries escalares:
a_{n}=1, \quad b_{n}=n^{x}.
A série vetorial \sum\mathbf{u}_{n} convergirá só se \sum a_{n} e \sum b_{n} convergirem separadamente.

Passo 3

Aplicando o teste da razão à primeira série \sum a_{n}=\sum1:
L_{a} =\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1} =1.
Como L_{a}=1, o teste da razão é inconclusivo, mas sabemos diretamente que \sum1 diverge (termos não tendem a zero).

Passo 4

Concluímos imediatamente que \sum a_{n} diverge, pois o termo geral não tende a zero. Logo a série vetorial já não converge, mas continuemos a análise da segunda componente por completude.

Passo 5

Teste da razão para \sum b_{n}=\sum n^{x}:
L_{b} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{x}}{n^{x}} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{x} =1^{\,x} =1.
De novo L_{b}=1 e o teste da razão é inconclusivo para \sum n^{x}.

Passo 6

Para \sum n^{x} devemos recorrer ao teste da série-p:
\sum n^{x}\;\text{converge} \iff x<-1,
e diverge se x\ge -1. Mas pelo teste da razão não obtivemos essa informação.

Passo 7

Como a primeira componente já diverge e o teste da razão não garante convergência de nenhuma das duas, a série vetorial \sum\mathbf{u}_{n} não é uma aproximação válida para um campo de velocidade convergente, exceto que nem consideremos a componente constante. Mesmo assim, a segunda só convergiria em x<-1, o que normalmente não ocupa interesse físico aqui.

Resposta

Pelo teste da razão obtemos L=1 em ambas as componentes (inconclusivo), mas \sum1 diverge imediatamente e \sum n^{x} só converge se x<-1. Portanto, não se garante convergência da série para uso como aproximação do campo de velocidade.

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