10- Para o campo de velocidade:
- Este escoamento é rotacional?
- Existe um potencial de velocidade para este escoamento?
- Verifique se este escoamento atende o teorema da círculação de Kelvin;
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade em notação de componentes
e pede:
- verificar se o escoamento é rotacional (isto é, se
); - verificar se existe potencial de velocidade (isto é, se
para algum ); - checar se a circulação de um material loop é conservada (teorema de Kelvin).
Para isso vamos usar definição de rotacional, condições para potencial, e a identidade de Kelvin que diz
onde
e
é a circulação.
Passo 2
Calcular o rotacional
. Em componentes,
Logo
em ponto genérico, ou seja, o escoamento é rotacional.
Passo 3
Para existir potencial
tal que
, é necessário (e suficiente em domínio simplesmente conexo) ter
. Aqui achamos
, logo não existe potencial de velocidade
.
Passo 4
Pelo teorema de Kelvin para escoamentos invíscidos, barotrópicos e com forças de corpo conservativas,
Se a circulação fosse conservada para todo loop material, deveríamos ter
(ou identicamente nulo). Calculamos
que não é gradiente de nenhuma função escalar. Portanto
em geral e a circulação não se conserva: o escoamento não satisfaz o teorema de Kelvin.
Resposta
O escoamento é rotacional.
Não existe potencial de velocidade.
A circulação de um loop material não é conservada (teorema de Kelvin não vale).
Não existe potencial de velocidade.
A circulação de um loop material não é conservada (teorema de Kelvin não vale).