10- Para o campo de velocidade:
\boldsymbol{u}=a\left(x_{1}^{2}-x_{3}^{2}\right) \hat{e}_{1}-2 \alpha x_{1} x_{2} \hat{e}_{2}
  • Este escoamento é rotacional?
  • Existe um potencial de velocidade para este escoamento?
  • Verifique se este escoamento atende o teorema da círculação de Kelvin;

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade em notação de componentes
\boldsymbol{u}(x_1,x_2,x_3) = \bigl(u_1,u_2,u_3\bigr) = \bigl(a(x_1^2 - x_3^2),\,-2\alpha x_1 x_2,\,0\bigr),
e pede:
  1. verificar se o escoamento é rotacional (isto é, se \nabla\times\boldsymbol{u}\neq\boldsymbol{0});
  2. verificar se existe potencial de velocidade (isto é, se \boldsymbol{u}=\nabla\varphi para algum \varphi);
  3. checar se a circulação de um material loop é conservada (teorema de Kelvin).
    Para isso vamos usar definição de rotacional, condições para potencial, e a identidade de Kel­vin que diz
\frac{D\Gamma}{Dt} = -\oint_{\mathcal{C}(t)}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{u})\cdot d\boldsymbol{x},
onde \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\boldsymbol{u} e \Gamma é a circulação.

Passo 2

Calcular o rotacional \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\boldsymbol{u}. Em componentes,
\omega_1 =\partial_{2}u_3-\partial_{3}u_2 =0 - 0=0,
\omega_2 =\partial_{3}u_1-\partial_{1}u_3 =\partial_{3}\bigl[a(x_1^2-x_3^2)\bigr]-0 =-2a\,x_3,
\omega_3 =\partial_{1}u_2-\partial_{2}u_1 =\partial_{1}\bigl[-2\alpha x_1x_2\bigr]-0 =-2\alpha\,x_2.
Logo
\boldsymbol{\omega} =(0,\,-2a\,x_3,\,-2\alpha\,x_2)\neq\boldsymbol{0}
em ponto genérico, ou seja, o escoamento é rotacional.

Passo 3

Para existir potencial \varphi tal que \boldsymbol{u}=\nabla\varphi, é necessário (e suficiente em domínio simplesmente conexo) ter \nabla\times\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}. Aqui achamos \boldsymbol{\omega}\neq\boldsymbol{0}, logo não existe potencial de velocidade \varphi.

Passo 4

Pelo teorema de Kelvin para escoamentos invíscidos, barotrópicos e com forças de corpo conservativas,
\frac{D\Gamma}{Dt} =-\oint_{\mathcal{C}(t)}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{u})\cdot d\boldsymbol{x}.
Se a circulação fosse conservada para todo loop material, deveríamos ter \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{u}=\nabla\psi (ou identicamente nulo). Calculamos
\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{\omega} =\bigl(u_2\omega_3-u_3\omega_2,\;u_3\omega_1-u_1\omega_3,\;u_1\omega_2-u_2\omega_1\bigr) =\bigl(4\alpha^2x_1x_2^2,\;2a\alpha\,x_2(x_1^2-x_3^2),\;-2a^2x_3(x_1^2-x_3^2)\bigr),
que não é gradiente de nenhuma função escalar. Portanto \oint(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{u})\cdot d\boldsymbol{x}\neq0 em geral e a circulação não se conserva: o escoamento não satisfaz o teorema de Kelvin.

Resposta

O escoamento é rotacional.
Não existe potencial de velocidade.
A circulação de um loop material não é conservada (teorema de Kelvin não vale).

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