Determine se as congruências lineares abaixo possuiem soluções. Em caso afirmativo, encontre todas as soluções incongruentes:
4 x \equiv 2(\bmod 6)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a congruência linear
4x \equiv 2 \pmod{6}
tem solução e, em caso afirmativo, encontrar todas as soluções incongruentes.
Informações dadas:
  • Coeficiente a = 4.
  • Termo independente b = 2.
  • Módulo n = 6.

Passo 2

Regra básica (teoria mastigada): a congruência linear
a x \equiv b \pmod{n}
tem solução se, e somente se, o máximo divisor comum
d=\gcd(a,n)
divide b. Se existir solução, há exatamente d classes incongruentes módulo n. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Calculemos
d=\gcd(4,6).
Para achar \gcd(4,6) faça a fatoração mental ou use o algoritmo de Euclides: 6=4\cdot1+2 e 4=2\cdot2+0, então
d=2.
Como d=2 e b=2, verificamos se d divide b: 2 divide 2. Portanto, pelo critério, a congruência tem solução.

Passo 3

Redução da congruência (motivo e método): quando d=\gcd(a,n) divide b, podemos dividir toda a congruência por d para obter uma congruência equivalente com coeficiente e módulo menores. Defina
a'=\frac{a}{d},\qquad b'=\frac{b}{d},\qquad n'=\frac{n}{d}.
No caso:
a'=\frac{4}{2}=2,\qquad b'=\frac{2}{2}=1,\qquad n'=\frac{6}{2}=3.
A congruência reduzida é
2x \equiv 1 \pmod{3}.
Essa congruência é equivalente à original no sentido de que cada solução desta gera soluções da original (vou explicitar como no próximo passo).

Passo 4

Resolver a congruência reduzida: como \gcd(a',n')=\gcd(2,3)=1, o coeficiente a' tem inverso multiplicativo módulo n'. Definição de inverso: um número y é inverso de a' módulo n' quando
a' y \equiv 1 \pmod{n'}.
Aqui, verifique que
2\cdot 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3},
portanto 2 é o inverso de 2 modulo 3. Multiplicando a congruência reduzida por esse inverso, obtemos
x \equiv 2\cdot 1 \pmod{3},
ou seja
x \equiv 2 \pmod{3}.
Isso nos dá a solução geral da congruência reduzida: todos os inteiros da forma x=2+3t, com t\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Voltar à congruência original e enumerar as classes incongruentes módulo 6: a teoria diz que, se a congruência reduzida tem uma solução x_0 módulo n', então as soluções da congruência original são exatamente as classes
x \equiv x_0 + k n' \pmod{n},\qquad k=0,1,\dots,d-1,
onde d=\gcd(a,n). No nosso caso x_0\equiv 2\pmod{3}, n'=3 e d=2. Logo as soluções mod 6 são
x \equiv 2 + 3k \pmod{6},\qquad k=0,1.
Para k=0 temos x\equiv 2\pmod{6}.
Para k=1 temos x\equiv 5\pmod{6}.
Verificação rápida (para ficar tranquilo):
4\cdot 2 = 8 \equiv 2 \pmod{6},
4\cdot 5 = 20 \equiv 2 \pmod{6},
portanto ambas funcionam. Não existem outras classes incongruentes modulo 6 porque o teorema garante exatamente d=2 classes.

Passo 6

Resumo didático final (como aplicar isso numa prova): ao ver a x \equiv b \pmod{n},
  1. Calcule d=\gcd(a,n).
  2. Se d \nmid b, não há solução.
  3. Se d\mid b, divida tudo por d e resolva a congruência reduzida a' x \equiv b' \pmod{n'} com a'=a/d, b'=b/d, n'=n/d. Como \gcd(a',n')=1 haverá inverso de a' módulo n' e uma solução x_0 módulo n'.
  4. As soluções da congruência original são x\equiv x_0+k n'\pmod{n} para k=0,\dots,d-1, totalizando d classes incongruentes módulo n.
No problema concreto isso deu as duas classes apresentadas no passo anterior.

Resposta

Sim.
As soluções incongruentes módulo 6 são x\equiv 2\pmod{6} e x\equiv 5\pmod{6}.

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