De que modos é possível combinar 50 moedas, misturando moedas de 1 , de 10 e de 25 centavos, de modo a totalizar 3,50 reais?

Passo 1

O enunciado pede que se encontre de que modos (ou seja, quais combinações de quantidades) de moedas de 1 centavo, 10 centavos e 25 centavos permitem usar exatamente 50 moedas no total e obter a soma de 3,50 reais (ou seja, 350 centavos).
Informações dadas:
  • Número total de moedas: \;50.\n
  • Tipos de moedas e seus valores: \;1 centavo, \;10 centavos, \;25 centavos.\n
  • Soma total desejada: \;3,50 reais =350 centavos.\n
    O que devemos retornar: todas as combinações não-negativas de quantidades dessas três moedas que satisfazem ambos os requisitos (total de moedas e total em centavos).

Passo 2

Vamos introduzir variáveis (isso deixa o problema mais claro e organizado):
  • Seja \;x o número de moedas de 1 centavo.
  • Seja \;y o número de moedas de 10 centavos.
  • Seja \;z o número de moedas de 25 centavos.
As duas condições do problema viram duas equações:
x+y+z=50
1\cdot x + 10\cdot y + 25\cdot z=350
Aqui cada variável é um número inteiro não negativo ( \;x,y,z\in\mathbb{Z}_{\ge0} ).

Passo 3

Eliminamos uma variável para reduzir para uma equação em duas incógnitas. Da primeira equação:
x = 50 - y - z.
Substituindo na segunda equação:
(50 - y - z) + 10y + 25z = 350.
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo:
50 - y - z + 10y + 25z = 350
50 + 9y + 24z = 350
9y + 24z = 300.

Passo 4

Para simplificar os coeficientes, dividimos por 3 (pois 9,24,300 são múltiplos de 3):
3y + 8z = 100.
Agora buscamos soluções inteiras não-negativas (y,z) dessa equação. Essa é uma equação linear diofantina em y e z.

Passo 5

Usamos aritmética modular para restringir z. Tome a equação \;3y + 8z = 100 módulo 3. Note que 8 \equiv 2\pmod{3} e 100\equiv 1\pmod{3}. Assim:
3y + 8z \equiv 0 + 2z \equiv 1 \pmod{3},
ou seja
2z \equiv 1 \pmod{3}.
Multiplicando por 2 (inverso de 2 módulo 3 é 2), obtemos
z \equiv 2 \pmod{3}.
Portanto z pode ser escrito como
z = 3k+2,
para algum inteiro k\ge0.

Passo 6

Substituímos z=3k+2 na equação reduzida \;3y+8z=100:
3y + 8(3k+2) = 100
3y + 24k + 16 = 100
3y = 84 - 24k
y = 28 - 8k.
Como y é inteiro, isso é coerente; agora precisamos impor as condições de não negatividade em y e z.

Passo 7

Impondo y\ge0 e z\ge0:
  • Para z=3k+2\ge0 basta k\ge0.
  • Para y=28-8k\ge0 precisamos de 28-8k\ge0\Rightarrow 8k\le28\Rightarrow k\le\frac{28}{8}=3{,}5. Como k é inteiro, k\le3.
Logo k pode ser 0,1,2,3. Esses são os únicos valores possíveis.

Passo 8

Agora calculamos (y,z) para cada k e depois x via x=50-y-z. Fazemos isso um por um (sempre checando não-negatividade):
  • Para k=0: z=3\cdot0+2=2,\qquad y=28-8\cdot0=28,
x=50-28-2=20.
Verificação rápida: 1\cdot20+10\cdot28+25\cdot2=20+280+50=350.
  • Para k=1: z=3\cdot1+2=5,\qquad y=28-8\cdot1=20,
x=50-20-5=25.
Verificação: 25+200+125=350.
  • Para k=2: z=3\cdot2+2=8,\qquad y=28-8\cdot2=12,
x=50-12-8=30.
Verificação: 30+120+200=350.
  • Para k=3: z=3\cdot3+2=11,\qquad y=28-8\cdot3=4,
x=50-4-11=35.
Verificação: 35+40+275=350.
Todos os x são não-negativos e as somas conferem, então essas são as combinações válidas.

Passo 9

Interpretando: cada solução (x,y,z) significa \;x moedas de 1 centavo, \;y moedas de 10 centavos e \;z moedas de 25 centavos. Encontramos exatamente quatro combinações possíveis, listadas acima.

Resposta

(x,y,z)=(20,28,2)
(x,y,z)=(25,20,5)
(x,y,z)=(30,12,8)
(x,y,z)=(35,4,11)

Exercícios relacionados