O número 45 possui inverso módulo 105 ? Se sim, determine esse inverso. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se o número
possui inverso módulo
e, em caso afirmativo, determina esse inverso. As informações dadas são apenas os inteiros:
- o potencial elemento cujo inverso se quer:
, - o módulo:
.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) o critério que decide se um número tem inverso modular: um inteiro
possui inverso módulo
se, e somente se,
.
Explicando por quê (intuição): se existe tal que
Explicando por quê (intuição): se existe
então existe inteiro
com
Qualquer divisor comum de
e
divide o lado esquerdo
. Mas se um inteiro
divide
e
então
divide também
e
, logo
divide
. Assim
. Portanto
. O recíproco também é verdade por identidade de Bézout: se
existem inteiros
com
logo reduzindo módulo
vem
, e
é o inverso de
módulo
.
Passo 3
Logo, para decidir se existe inverso de
módulo
precisamos calcular
. Usamos o algoritmo de Euclides (passo a passo):
Quando o resto chega a zero, o último resto não-nulo é o
. Portanto
Passo 4
Como
, o critério do Passo 2 diz que não existe inverso de
módulo
. Outra forma de ver isso (intuitiva): se existisse
com
então
dividiria
. Mas
divide
e
, então
também dividiria
; pelo lado esquerdo
seria congruente a
módulo
, o que é impossível porque
é múltiplo de
. Portanto contradição.
Passo 5
Breve comentário didático final: se o
fosse
, para encontrar o inverso usaríamos o algoritmo estendido de Euclides para obter a combinação de Bézout
e então
(reduzido módulo
) seria o inverso. Aqui esse procedimento falharia porque não é possível obter
como combinação linear de
e
(o menor resultado possível é múltiplo de
).
Resposta
Não existe inverso de
módulo
, pois
.