O número 45 possui inverso módulo 105 ? Se sim, determine esse inverso. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se o número 45 possui inverso módulo 105 e, em caso afirmativo, determina esse inverso. As informações dadas são apenas os inteiros:
  • o potencial elemento cujo inverso se quer: 45,
  • o módulo: 105.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o critério que decide se um número tem inverso modular: um inteiro a possui inverso módulo m se, e somente se, \gcd(a,m)=1.
Explicando por quê (intuição): se existe x tal que
a x \equiv 1 \pmod{m},
então existe inteiro k com
a x - 1 = k m.
Qualquer divisor comum de a e m divide o lado esquerdo a x - 1. Mas se um inteiro d divide a e m então d divide também a x e k m, logo d divide 1. Assim d=1. Portanto \gcd(a,m)=1. O recíproco também é verdade por identidade de Bézout: se \gcd(a,m)=1 existem inteiros u,v com
a u + m v = 1,
logo reduzindo módulo m vem a u \equiv 1\pmod{m}, e u é o inverso de a módulo m.

Passo 3

Logo, para decidir se existe inverso de 45 módulo 105 precisamos calcular \gcd(45,105). Usamos o algoritmo de Euclides (passo a passo):
105 = 45\cdot 2 + 15,
45 = 15\cdot 3 + 0.
Quando o resto chega a zero, o último resto não-nulo é o \gcd. Portanto
\gcd(45,105)=15.

Passo 4

Como \gcd(45,105)=15\neq1, o critério do Passo 2 diz que não existe inverso de 45 módulo 105. Outra forma de ver isso (intuitiva): se existisse x com
45x \equiv 1 \pmod{105},
então 105 dividiria 45x-1. Mas 15 divide 45 e 105, então 15 também dividiria 45x-1; pelo lado esquerdo 45x-1 seria congruente a -1 módulo 15, o que é impossível porque 45x é múltiplo de 15. Portanto contradição.

Passo 5

Breve comentário didático final: se o \gcd fosse 1, para encontrar o inverso usaríamos o algoritmo estendido de Euclides para obter a combinação de Bézout 45u+105v=1 e então u (reduzido módulo 105) seria o inverso. Aqui esse procedimento falharia porque não é possível obter 1 como combinação linear de 45 e 105 (o menor resultado possível é múltiplo de 15).

Resposta

Não existe inverso de 45 módulo 105, pois \gcd(45,105)=15\neq1.

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