Determine se as congruências lineares abaixo possuiem soluções. Em caso afirmativo, encontre todas as soluções incongruentes:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a congruência linear
possui soluções e, se sim, encontrar todas as soluções incongruentes. As informações dadas são:
- o coeficiente de
é ; - o módulo é
; - o termo independente é
.
Passo 2
Regra geral (explicada passo a passo, sem pular etapas):
- Considere a congruência linear
. - Seja
. A congruência tem solução se, e somente se, divide (ou seja, ). - Por que isso é necessário? Se
então existe um inteiro tal que . O lado esquerdo é múltiplo de (pois divide ), e o termo também é múltiplo de (pois divide ), logo seu somatório também precisa ser múltiplo de . Assim . - Por que isso é suficiente? Se
, escrevemos , , . A congruência original fica , que é equivalente a . Agora , então tem inverso multiplicativo módulo e a congruência reduzida tem exatamente uma classe solução módulo . Voltando à módulo , isso dá exatamente soluções incongruentes módulo , que são obtidas somando múltiplos de à solução básica.
- Por que isso é necessário? Se
- Resumo prático: calcule
. Se então nenhuma solução. Se , reduza dividindo tudo por , encontre a solução única modulo e liste as soluções modulo .
Passo 3
Aplicando a regra ao caso dado:
Calcular .
Usando o algoritmo de Euclides:
Calcular
Usando o algoritmo de Euclides:
logo
. Portanto
.
Passo 4
Verificar se
divide
: precisamos checar se
.
Dividindo por
obtemos resto
(pois
), então
. Pelo critério explicado no Passo 2, a congruência não tem solução.
Dividindo
Complemento didático (intuição alternativa e rápida): os valores possíveis de
são múltiplos de
porque
. De fato, para
temos
e esses valores se repetem ciclicamente;
não é múltiplo de
, portanto não aparece entre esses restos.
Passo 5
Conclusão final direta: não existe
inteiro tal que
, pois
não divide
.
Resposta
Não existe solução.