Determine se as congruências lineares abaixo possuiem soluções. Em caso afirmativo, encontre todas as soluções incongruentes:
(a) 6 x \equiv 11(\bmod 15)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a congruência linear
6x \equiv 11 \pmod{15}
possui soluções e, se sim, encontrar todas as soluções incongruentes. As informações dadas são:
  • o coeficiente de x é 6;
  • o módulo é 15;
  • o termo independente é 11.

Passo 2

Regra geral (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Considere a congruência linear \,a x \equiv b \pmod{m}\,.
  • Seja d=\gcd(a,m). A congruência tem solução se, e somente se, d divide b (ou seja, d \mid b).
    • Por que isso é necessário? Se a x \equiv b \pmod{m} então existe um inteiro k tal que a x = b + k m. O lado esquerdo a x é múltiplo de d (pois d divide a), e o termo k m também é múltiplo de d (pois d divide m), logo seu somatório b também precisa ser múltiplo de d. Assim d\mid b.
    • Por que isso é suficiente? Se d\mid b, escrevemos a = d a', m = d m', b = d b'. A congruência original fica d a' x \equiv d b' \pmod{d m'}, que é equivalente a a' x \equiv b' \pmod{m'}. Agora \gcd(a',m')=1, então a' tem inverso multiplicativo módulo m' e a congruência reduzida tem exatamente uma classe solução módulo m'. Voltando à módulo m, isso dá exatamente d soluções incongruentes módulo m, que são obtidas somando múltiplos de m' à solução básica.
  • Resumo prático: calcule d=\gcd(a,m). Se d \nmid b então nenhuma solução. Se d\mid b, reduza dividindo tudo por d, encontre a solução única modulo m'=\dfrac{m}{d} e liste as d soluções modulo m.

Passo 3

Aplicando a regra ao caso dado:
Calcular d=\gcd(6,15).
Usando o algoritmo de Euclides:
15 = 6\cdot 2 + 3, \qquad 6 = 3\cdot 2 + 0,
logo \gcd(6,15)=3. Portanto d=3.

Passo 4

Verificar se d divide b: precisamos checar se 3\mid 11.
Dividindo 11 por 3 obtemos resto 2 (pois 11=3\cdot 3 + 2), então 3\nmid 11. Pelo critério explicado no Passo 2, a congruência não tem solução.
Complemento didático (intuição alternativa e rápida): os valores possíveis de 6x\pmod{15} são múltiplos de 3 porque \gcd(6,15)=3. De fato, para x=0,1,2,3,4 temos
6\cdot 0 \equiv 0,\quad 6\cdot 1 \equiv 6,\quad 6\cdot 2 \equiv 12,\quad 6\cdot 3 \equiv 3,\quad 6\cdot 4 \equiv 9 \pmod{15},
e esses valores se repetem ciclicamente; 11 não é múltiplo de 3, portanto não aparece entre esses restos.

Passo 5

Conclusão final direta: não existe x inteiro tal que 6x \equiv 11 \pmod{15}, pois 3=\gcd(6,15) não divide 11.

Resposta

Não existe solução.

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