2 - Qual ê o módulo do campo elêtrico no ponto 5,00 \hat{i}-1,00 \hat{j}+2,00 \hat{k} \mathrm{~m} se o potencial elêtrico ê dado por V=6,00 \mathrm{ry}^{2} z, em que V estå em volts e x, y e z ostầo em metros? (2,0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todas do texto que você enviou):
  • O potencial elétrico é V=6{,}00\,x y^{2} z, onde V está em volts e x,y,z estão em metros.
  • O ponto onde devemos calcular o campo elétrico é \mathbf{r} = 5{,}00\,\hat{i}-1{,}00\,\hat{j}+2{,}00\,\hat{k} (metros).
    A pergunta é: qual é o módulo (valor absoluto) do campo elétrico no ponto dado?

Passo 2

Lembrete essencial (fórmula que liga potencial ao campo): o campo elétrico \mathbf{E} está relacionado ao potencial V pela fórmula
\mathbf{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V é o gradiente de V, que reúne as derivadas parciais de V em relação a cada coordenada. Em componentes cartesianas:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right),
e portanto
\mathbf{E} = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)\hat{i} -\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)\hat{j} -\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)\hat{k}.
Explicando a ideia de derivada parcial: ao calcular \partial V/\partial x trata-se de derivar V em relação a x mantendo y e z constantes; análoga interpretação para as outras componentes.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V=6{,}00\,x y^{2} z.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x}=6{,}00\;y^{2}z,
porque x aparece multiplicando o resto, então ao derivar em relação a x o coeficiente é 6{,}00\,y^{2}z.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y}=6{,}00\;x\cdot 2y\cdot z=12{,}00\;x y z,
pois y^{2} deriva para 2y e as demais variáveis são constantes.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial V}{\partial z}=6{,}00\;x y^{2},
pois z aparece multiplicando o resto.
Portanto, o campo é
\mathbf{E} = -\bigl(6{,}00\,y^{2}z\bigr)\hat{i}-\bigl(12{,}00\,x y z\bigr)\hat{j}-\bigl(6{,}00\,x y^{2}\bigr)\hat{k}.

Passo 4

Agora avalio as componentes no ponto \bigl(x,y,z\bigr)=(5{,}00,\,-1{,}00,\,2{,}00).
Calcule y^{2}:
y^{2}=(-1{,}00)^{2}=1{,}00.
Calcule a componente E_x:
E_x = -6{,}00\;y^{2}z = -6{,}00\cdot 1{,}00\cdot 2{,}00 = -12{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Calcule a componente E_y:
\frac{\partial V}{\partial y}=12{,}00\;x y z = 12{,}00\cdot 5{,}00\cdot(-1{,}00)\cdot 2{,}00 = -120{,}0,
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E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(-120{,}0)=120{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Calcule a componente E_z:
E_z = -6{,}00\;x y^{2} = -6{,}00\cdot 5{,}00\cdot 1{,}00 = -30{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Assim o vetor campo no ponto é
\mathbf{E} = -12{,}0\,\hat{i} + 120{,}0\,\hat{j} -30{,}0\,\hat{k}\quad(\mathrm{V/m}).

Passo 5

Agora calculo o módulo (norma) do vetor \mathbf{E}. A fórmula é
\lVert\mathbf{E}\rVert = \sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}+E_z^{2}}.
Substituindo os valores:
\lVert\mathbf{E}\rVert = \sqrt{(-12{,}0)^{2} + (120{,}0)^{2} + (-30{,}0)^{2}} = \sqrt{144{,}0 + 14400{,}0 + 900{,}0} = \sqrt{15444{,}0}.
Aproximando a raiz quadrada:
\lVert\mathbf{E}\rVert \approx 124{,}3\\ \mathrm{V/m}.
Pequeno lembrete prático: para fazer essa raiz na prova sem calculadora, pode-se simplificar fatorando constantes (aqui não havia fator óbvio para extrair), ou usar aproximação por quadrados inteiros próximos; mas sempre que possível use calculadora para a raiz final se a prova permitir.

Resposta

124{,}3 V/m

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