Questão 1 - Um corpo de 2,0 kg está comprimindo de 10 cm uma mola cuja constante de força é de 6000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O corpo é liberado e a mola o projeta para uma superfície horizontal sem atrito e sobe um plano inclinado de 45^{\circ}, também sem atrito. No final da rampa, o bloco atinge uma superfície plana também sem atrito a uma altura de 0,25 \mathrm{~m} do plano inferior. (a) Determine a velocidade (i) no plano inferior, (ii) no plano superior. (b) Que trabalho deve ser realizado sobre o bloco para pará-lo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei alguns valores do enunciado e da figura):
  • Massa do corpo: m=2,0\\ \mathrm{kg}.
  • Compressão da mola: x=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Constante da mola: k=6000\\ \mathrm{N/m}.
  • A superfície horizontal inicial é sem atrito.
  • A rampa tem inclinação de 45^\circ (peguei este valor da imagem).
  • A superfície plana superior está a uma altura h=0,25\\ \mathrm{m} acima do plano inferior (peguei este valor da imagem).
  • Assume-se g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade
(i) no plano inferior (logo após deixar a mola);
(ii) no plano superior (na superfície plana que fica a 0,25\\ \mathrm{m} de altura).
(b) Que trabalho deve ser realizado sobre o bloco para pará-lo?

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Energia potencial elástica da mola: a mola armazenada quando comprimida tem energia
U_s=\frac{1}{2}\,k\,x^{2},
onde k é a constante da mola (em \mathrm{N/m}) e x é a compressão (em \mathrm{m}). Essa fórmula vem de integrar a força elástica F=-kx para obter o trabalho armazenado.
  • Energia cinética de um corpo em movimento:
K=\frac{1}{2}\,m\,v^{2},
onde m é a massa e v a velocidade.
  • Energia potencial gravitacional (para elevação vertical h):
U_g=m\,g\,h,
onde g é a aceleração da gravidade.
  • Quando não há atrito nem forças dissipativas, a energia mecânica se conserva. Ou seja, a energia inicial armazenada na mola será convertida em energia cinética e, depois, em energia potencial gravitacional conforme o bloco sobe. Portanto usaremos conservação de energia entre pontos.
  • Para parar o bloco (reduzir sua velocidade a zero), o trabalho necessário por uma força externa que atua contra o movimento deve ser igual ao negativo da variação de energia cinética (teorema trabalho-energia). Em termos de magnitude, é preciso retirar do bloco a energia cinética que ele tem naquele instante.
Agora aplicamos as fórmulas aos números do problema.

Passo 3

Calcular a energia armazenada na mola no início.
Usando U_s=\tfrac{1}{2}kx^{2} com k=6000\\ \mathrm{N/m} e x=0,10\\ \mathrm{m}:
U_s=\frac{1}{2}\cdot6000\cdot(0,10)^{2}.
Calcule passo a passo:
(0,10)^{2}=0,01,
6000\cdot0,01=60,
U_s=\frac{1}{2}\cdot60=30\\ \mathrm{J}.
Portanto a mola fornece 30\\ \mathrm{J} de energia quando liberada.

Passo 4

Velocidade no plano inferior (logo após a mola): conversão de energia elástica em cinética.
No momento em que o bloco deixa a zona da mola e está sobre o plano horizontal inferior (antes de subir a rampa), toda a energia elástica virou energia cinética (não há atrito). Assim:
\frac{1}{2}m v_{\text{inf}}^{2}=U_s=30\\ \mathrm{J}.
Isolando v_{\text{inf}}:
v_{\text{inf}}=\sqrt{\frac{2U_s}{m}}.
Substituindo U_s=30\\ \mathrm{J} e m=2,0\\ \mathrm{kg}:
v_{\text{inf}}=\sqrt{\frac{2\cdot30}{2,0}}=\sqrt{30}.
Avaliação numérica:
v_{\text{inf}}=\sqrt{30}\approx5,48\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: isso significa que os 30\\ \mathrm{J} de energia viraram movimento, e com a massa de 2,0\\ \mathrm{kg} a velocidade resultante é cerca de 5,48\\ \mathrm{m/s}. Respira, já temos a primeira resposta!

Passo 5

Velocidade no plano superior (após subir a rampa até a superfície a h=0,25\\ \mathrm{m}):
Ao subir a rampa sem atrito, parte da energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional. Usando conservação da energia mecânica entre o plano inferior (referência onde U_g=0) e a superfície superior (altura h):
\text{energia inicial }(30\\ \mathrm{J}) = \text{energia cinética no topo }+ \text{energia potencial no topo}.é
Escrevendo,
\frac{1}{2}m v_{\text{sup}}^{2} + m g h = U_s = 30\\ \mathrm{J}.
Isolando \frac{1}{2}m v_{\text{sup}}^{2}:
\frac{1}{2}m v_{\text{sup}}^{2}=30 - m g h.
Substituindo m=2,0\\ \mathrm{kg}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e h=0,25\\ \mathrm{m}:
m g h = 2,0\cdot9,8\cdot0,25 = 4,9\\ \mathrm{J}.
Logo a energia cinética restante no topo é
\frac{1}{2}m v_{\text{sup}}^{2}=30 - 4,9 = 25,1\\ \mathrm{J}.
Agora isolamos v_{\text{sup}}:
v_{\text{sup}}=\sqrt{\frac{2\cdot25,1}{2,0}}=\sqrt{25,1}.
Avaliação numérica:
v_{\text{sup}}=\sqrt{25,1}\approx5,01\\ \mathrm{m/s}.
Comentário intuitivo: subir 0,25\\ \mathrm{m} consome 4,9\\ \mathrm{J} da energia inicial de 30\\ \mathrm{J}, sobrando 25,1\\ \mathrm{J} para movimento. A velocidade diminui um pouco (de 5,48 para 5,01\\ \mathrm{m/s}).

Passo 6

Que trabalho deve ser realizado sobre o bloco para pará-lo?
Explicação: pelo teorema trabalho-energia, o trabalho total W_{\text{ext}} realizado por forças externas que não fazem parte da energia mecânica conservativa (ou por uma força de frenagem) é igual à variação da energia cinética:
W_{\text{ext}}=\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Se queremos parar o bloco no topo, K_{\text{final}}=0 e K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m v_{\text{sup}}^{2}=25,1\\ \mathrm{J}. Portanto
W_{\text{ext}}=0-25,1 = -25,1\\ \mathrm{J}.
O sinal negativo indica que o trabalho feito pela força externa retira energia do bloco (faz trabalho contrário ao movimento). Em termos de magnitude, é preciso realizar 25,1\\ \mathrm{J} de trabalho contra o bloco para fazê-lo parar.
Observação prática: se a pergunta pede apenas “que trabalho deve ser realizado para pará-lo?” muitas vezes espera-se a magnitude positiva 25,1\\ \mathrm{J}; se for pedido o trabalho algébrico, informe -25,1\\ \mathrm{J} (pois é trabalho que reduz a energia cinética).

Resposta

(a)(i) v_{\text{plano inferior}}=5,48\\ \mathrm{m/s}
(a)(ii) v_{\text{plano superior}}=5,01\\ \mathrm{m/s}
(b) Trabalho necessário para pará-lo: W=-25,1\\ \mathrm{J} (magnitude 25,1\\ \mathrm{J})

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