Questão 1 - Um corpo de 2,0 kg está comprimindo de 10 cm uma mola cuja constante de força é de
. O corpo é liberado e a mola o projeta para uma superfície horizontal sem atrito e sobe um plano inclinado de
, também sem atrito. No final da rampa, o bloco atinge uma superfície plana também sem atrito a uma altura de
do plano inferior. (a) Determine a velocidade (i) no plano inferior, (ii) no plano superior. (b) Que trabalho deve ser realizado sobre o bloco para pará-lo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei alguns valores do enunciado e da figura):
- Massa do corpo:
. - Compressão da mola:
. - Constante da mola:
. - A superfície horizontal inicial é sem atrito.
- A rampa tem inclinação de
(peguei este valor da imagem). - A superfície plana superior está a uma altura
acima do plano inferior (peguei este valor da imagem). - Assume-se
.
O enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade
(i) no plano inferior (logo após deixar a mola);
(ii) no plano superior (na superfície plana que fica a de altura).
(b) Que trabalho deve ser realizado sobre o bloco para pará-lo?
(a) Determinar a velocidade
(i) no plano inferior (logo após deixar a mola);
(ii) no plano superior (na superfície plana que fica a
(b) Que trabalho deve ser realizado sobre o bloco para pará-lo?
Passo 2
Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
- Energia potencial elástica da mola: a mola armazenada quando comprimida tem energia
onde
é a constante da mola (em
) e
é a compressão (em
). Essa fórmula vem de integrar a força elástica
para obter o trabalho armazenado.
- Energia cinética de um corpo em movimento:
onde
é a massa e
a velocidade.
- Energia potencial gravitacional (para elevação vertical
):
onde
é a aceleração da gravidade.
-
Quando não há atrito nem forças dissipativas, a energia mecânica se conserva. Ou seja, a energia inicial armazenada na mola será convertida em energia cinética e, depois, em energia potencial gravitacional conforme o bloco sobe. Portanto usaremos conservação de energia entre pontos.
-
Para parar o bloco (reduzir sua velocidade a zero), o trabalho necessário por uma força externa que atua contra o movimento deve ser igual ao negativo da variação de energia cinética (teorema trabalho-energia). Em termos de magnitude, é preciso retirar do bloco a energia cinética que ele tem naquele instante.
Agora aplicamos as fórmulas aos números do problema.
Passo 3
Calcular a energia armazenada na mola no início.
Usando
com
e
:
Calcule passo a passo:
Portanto a mola fornece
de energia quando liberada.
Passo 4
Velocidade no plano inferior (logo após a mola): conversão de energia elástica em cinética.
No momento em que o bloco deixa a zona da mola e está sobre o plano horizontal inferior (antes de subir a rampa), toda a energia elástica virou energia cinética (não há atrito). Assim:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Avaliação numérica:
Interpretação rápida: isso significa que os
de energia viraram movimento, e com a massa de
a velocidade resultante é cerca de
. Respira, já temos a primeira resposta!
Passo 5
Velocidade no plano superior (após subir a rampa até a superfície a
):
Ao subir a rampa sem atrito, parte da energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional. Usando conservação da energia mecânica entre o plano inferior (referência onde
) e a superfície superior (altura
):
Escrevendo,
Isolando
:
Substituindo
,
e
:
Logo a energia cinética restante no topo é
Agora isolamos
:
Avaliação numérica:
Comentário intuitivo: subir
consome
da energia inicial de
, sobrando
para movimento. A velocidade diminui um pouco (de
para
).
Passo 6
Que trabalho deve ser realizado sobre o bloco para pará-lo?
Explicação: pelo teorema trabalho-energia, o trabalho total
realizado por forças externas que não fazem parte da energia mecânica conservativa (ou por uma força de frenagem) é igual à variação da energia cinética:
Se queremos parar o bloco no topo,
e
. Portanto
O sinal negativo indica que o trabalho feito pela força externa retira energia do bloco (faz trabalho contrário ao movimento). Em termos de magnitude, é preciso realizar
de trabalho contra o bloco para fazê-lo parar.
Observação prática: se a pergunta pede apenas “que trabalho deve ser realizado para pará-lo?” muitas vezes espera-se a magnitude positiva
; se for pedido o trabalho algébrico, informe
(pois é trabalho que reduz a energia cinética).
Resposta
(a)(i)
(a)(ii)
(b) Trabalho necessário para pará-lo: (magnitude
)
(a)(ii)
(b) Trabalho necessário para pará-lo: