Questão 3 -Um bloco de massa
é preso na ponta de uma mola, de constante
, e suspenso na vertical. Na situação inicial, um agente externo fica segurando o bloco mantendo a mola no estado relaxado. A seguir o bloco é abandonado e cai verticalmente. Determinar a expressão da distância A da queda do bloco na situação em que ele alcança o ponto mais baixo. Considere
a aceleração da gravidade.
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
preso à ponta de uma mola de constante elástica
. Inicialmente um agente segura o bloco mantendo a mola no estado relaxado; a posição vertical do bloco nessa situação é tomada como
. Em seguida o bloco é abandonado e desce até um ponto mais baixo, marcado na figura como
. A questão pede: determinar a expressão da distância
de queda do bloco (ou seja, o alongamento máximo da mola) em função de
,
e
.
Peguei estes dados da imagem:
- A mola está relaxada quando o bloco está em
(isto é, extensão inicial da mola ). - O ponto mais baixo alcançado pelo bloco está em
, significando que a mola ficou esticada de . - A massa do bloco é
, a constante da mola é e a aceleração da gravidade é .
Passo 2
Escolha de referências e definições de energia (por que isso ajuda). Vou usar conservação de energia mecânica porque o bloco é liberado a partir do repouso e, no ponto mais baixo, também está instantaneamente em repouso: energia cinética inicial e final são nulas, então a diferença de energia potencial gravitacional transforma-se em energia potencial elástica da mola. Isso é simples e direto para esta situação sem atrito.
Definições que vou usar:
- Energia potencial gravitacional:
, onde é a coordenada vertical (positiva para cima). Aqui, initial e final . - Energia potencial elástica (mola ideal, Lei de Hooke):
, onde é a extensão da mola em relação ao comprimento natural. Aqui, extensão inicial e extensão final . - Conservação de energia mecânica (sem forças dissipativas): energia mecânica total inicial
energia mecânica total final.
Explicação breve das fórmulas (didático, sem pular passos):
- A fórmula
: para um corpo próximo da superfície terrestre, a energia potencial é proporcional à massa, à gravidade e à altura . A escolha do zero de é arbitrária; escolhe-se aqui em para simplificar. - A fórmula
: vem da integração da força elástica . A energia armazenada na mola ao ser esticada de até é . Aqui é positivo quando a mola está esticada.
Passo 3
Escrevendo a conservação de energia completa entre o instante inicial (solto, repouso) e o instante em que o bloco atinge o ponto mais baixo (repouso instantâneo):
Como o bloco parte do repouso e no ponto mais baixo também tem velocidade zero, tem-se
e
. Substituindo:
Passo 4
Substituir os valores conhecidos das energias (usando as escolhas do Passo 2):
- Energia potencial gravitacional inicial:
. - Energia potencial elástica inicial:
. - Energia potencial gravitacional final:
. - Energia potencial elástica final:
.
Substituindo na igualdade do Passo 3:
Passo 5
Reorganizar a equação para isolar
. A equação do Passo 4 dá:
Colocar todos os termos num lado:
Fatorar
:
As soluções dessa equação são
(caso trivial, não é a queda) ou a solução não nula obtida impondo o segundo fator nulo:
Portanto
Passo 6
Interpretação física e checagens rápidas (ajuda para lembrar na prova):
- A extensão de equilíbrio estático
(onde a força elástica equilibra o peso) satisfaz , logo . O resultado encontrado mostra que o máximo alongamento dinâmico é o dobro disso: . Esse é um resultado clássico: ao soltar da posição de mola relaxada, o bloco passa pelo ponto de equilíbrio com velocidade e atinge o dobro do alongamento estático antes de parar momentaneamente. - Verificação dimensional:
tem dimensão de comprimento, pois e , logo está consistente. - Hipóteses usadas: não há dissipação (sem atrito do ar) e mola ideal (inafluência da massa da mola). Se houver amortecimento,
seria menor.