Questão 3 -Um bloco de massa m é preso na ponta de uma mola, de constante k, e suspenso na vertical. Na situação inicial, um agente externo fica segurando o bloco mantendo a mola no estado relaxado. A seguir o bloco é abandonado e cai verticalmente. Determinar a expressão da distância A da queda do bloco na situação em que ele alcança o ponto mais baixo. Considere g a aceleração da gravidade.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m preso à ponta de uma mola de constante elástica k. Inicialmente um agente segura o bloco mantendo a mola no estado relaxado; a posição vertical do bloco nessa situação é tomada como y=0. Em seguida o bloco é abandonado e desce até um ponto mais baixo, marcado na figura como y=-A. A questão pede: determinar a expressão da distância A de queda do bloco (ou seja, o alongamento máximo da mola) em função de m, k e g.
Peguei estes dados da imagem:
  • A mola está relaxada quando o bloco está em y=0 (isto é, extensão inicial da mola =0).
  • O ponto mais baixo alcançado pelo bloco está em y=-A, significando que a mola ficou esticada de A.
  • A massa do bloco é m, a constante da mola é k e a aceleração da gravidade é g.

Passo 2

Escolha de referências e definições de energia (por que isso ajuda). Vou usar conservação de energia mecânica porque o bloco é liberado a partir do repouso e, no ponto mais baixo, também está instantaneamente em repouso: energia cinética inicial e final são nulas, então a diferença de energia potencial gravitacional transforma-se em energia potencial elástica da mola. Isso é simples e direto para esta situação sem atrito.
Definições que vou usar:
  • Energia potencial gravitacional: U_g = m g y, onde y é a coordenada vertical (positiva para cima). Aqui, initial y_i=0 e final y_f=-A.
  • Energia potencial elástica (mola ideal, Lei de Hooke): U_s = \tfrac{1}{2}k x^2, onde x é a extensão da mola em relação ao comprimento natural. Aqui, extensão inicial x_i=0 e extensão final x_f=A.
  • Conservação de energia mecânica (sem forças dissipativas): energia mecânica total inicial = energia mecânica total final.
Explicação breve das fórmulas (didático, sem pular passos):
  • A fórmula U_g = m g y: para um corpo próximo da superfície terrestre, a energia potencial é proporcional à massa, à gravidade e à altura y. A escolha do zero de U_g é arbitrária; escolhe-se aqui U_g=0 em y=0 para simplificar.
  • A fórmula U_s = \tfrac{1}{2}k x^2: vem da integração da força elástica F_s = -k x. A energia armazenada na mola ao ser esticada de 0 até x é \int_0^x k x' \, dx' = \tfrac{1}{2}k x^2. Aqui x é positivo quando a mola está esticada.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia completa entre o instante inicial (solto, repouso) e o instante em que o bloco atinge o ponto mais baixo (repouso instantâneo):
K_i + U_{g,i} + U_{s,i} = K_f + U_{g,f} + U_{s,f}.
Como o bloco parte do repouso e no ponto mais baixo também tem velocidade zero, tem-se K_i=0 e K_f=0. Substituindo:
U_{g,i} + U_{s,i} = U_{g,f} + U_{s,f}.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos das energias (usando as escolhas do Passo 2):
  • Energia potencial gravitacional inicial: U_{g,i}=m g \cdot 0 = 0.
  • Energia potencial elástica inicial: U_{s,i}=\tfrac{1}{2}k\cdot 0^2=0.
  • Energia potencial gravitacional final: U_{g,f}=m g \cdot (-A) = -m g A.
  • Energia potencial elástica final: U_{s,f}=\tfrac{1}{2}k A^2.
Substituindo na igualdade do Passo 3:
0 + 0 = -m g A + \tfrac{1}{2}k A^2.

Passo 5

Reorganizar a equação para isolar A. A equação do Passo 4 dá:
0 = -m g A + \tfrac{1}{2}k A^2.
Colocar todos os termos num lado:
\tfrac{1}{2}k A^2 - m g A = 0.
Fatorar A:
A\left(\tfrac{1}{2}k A - m g\right) = 0.
As soluções dessa equação são A=0 (caso trivial, não é a queda) ou a solução não nula obtida impondo o segundo fator nulo:
\tfrac{1}{2}k A - m g = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}k A = m g.
Portanto
A = \frac{2 m g}{k}.

Passo 6

Interpretação física e checagens rápidas (ajuda para lembrar na prova):
  • A extensão de equilíbrio estático x_{\text{eq}} (onde a força elástica equilibra o peso) satisfaz k x_{\text{eq}} = m g, logo x_{\text{eq}} = \dfrac{m g}{k}. O resultado encontrado mostra que o máximo alongamento dinâmico A é o dobro disso: A = 2 x_{\text{eq}}. Esse é um resultado clássico: ao soltar da posição de mola relaxada, o bloco passa pelo ponto de equilíbrio com velocidade e atinge o dobro do alongamento estático antes de parar momentaneamente.
  • Verificação dimensional: \dfrac{2 m g}{k} tem dimensão de comprimento, pois [m g]=\text{N} e [k]=\text{N/m}, logo está consistente.
  • Hipóteses usadas: não há dissipação (sem atrito do ar) e mola ideal (inafluência da massa da mola). Se houver amortecimento, A seria menor.

Resposta

A=\frac{2\,m\,g}{k}

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