1. O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R é dado por J=a / \mathrm{r}^{2}, onde a é uma constante. Qual é a corrente elétrica que passa em um anel, concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,5 R e cujo raio externo é R ?

Passo 1

O enunciado pede a corrente elétrica que atravessa um anel (uma região anular) concentrado no eixo do fio, com raio interno 0,5R e raio externo R. As informações fornecidas são:
  • A densidade de corrente (módulo) é \displaystyle J(r)=\frac{a}{r^{2}}, onde a é uma constante e r é a distância ao eixo do fio.
  • A região de interesse é o anel com r variando de r_{\text{in}}=0,5R até r_{\text{out}}=R.
    A pergunta é: qual é a corrente elétrica total I que passa por essa região anular?

Passo 2

Conceito que vamos usar: corrente elétrica através de uma seção plana é a integral da densidade de corrente sobre a área dessa seção. Em fórmula:
I=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A},
onde I é a corrente total, \mathbf{J} é o vetor densidade de corrente e d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial (módulo dA e direção normal à superfície).
Aqui a densidade de corrente tem módulo dado por \displaystyle J(r)=\frac{a}{r^{2}} e, no caso de um fio com corrente ao longo do eixo, assume-se que \mathbf{J} é paralelo ao vetor normal da seção transversal. Assim podemos trabalhar só com módulos e escrever diferencial de corrente como
dI = J(r)\,dA.

Passo 3

Descrição do elemento de área adequado ao problema: a seção transversal do fio é circular; a região anular pode ser vista como sobreposição de anéis infinitesimais de raio r e espessura dr. O perímetro de cada anel é 2\pi r, logo a área do anel infinitesimal é
dA = (2\pi r)\,dr.
Portanto o diferencial de corrente é
dI = J(r)\,dA = \frac{a}{r^{2}}\cdot(2\pi r)\,dr = 2\pi a\frac{dr}{r}.

Passo 4

Montar e calcular a integral para a corrente total no anel, integrando r de 0,5R até R:
I = \int_{r=0,5R}^{r=R} dI = \int_{0,5R}^{R} 2\pi a\frac{dr}{r} = 2\pi a\int_{0,5R}^{R}\frac{dr}{r}.
A primitiva de \dfrac{1}{r} é o logaritmo natural \ln r. Assim,
I = 2\pi a\bigl[\ln r\bigr]_{0,5R}^{R} = 2\pi a\bigl(\ln R - \ln(0,5R)\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln R - \ln(0,5R)=\ln\!\bigl(\tfrac{R}{0,5R}\bigr) e cancelando R obtemos \ln 2. Portanto
I = 2\pi a\ln 2.

Passo 5

Interpretação rápida: o resultado não depende de R explicitamente porque a razão entre os limites produz \ln 2. A constante a carrega as unidades necessárias para que I tenha unidades de corrente. Boa: agora sabe montar a integral usando o elemento de área em coordenadas cilíndricas e integrar uma função \propto 1/r — a técnica é útil para muitos problemas com simetria circular.

Resposta

I=2\pi a\ln 2

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