- O módulo
da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é dado por
, onde a é uma constante. Qual é a corrente elétrica que passa em um anel, concêntrico com o fio, cujo raio interno é
e cujo raio externo é
?
Passo 1
O enunciado pede a corrente elétrica que atravessa um anel (uma região anular) concentrado no eixo do fio, com raio interno
e raio externo
. As informações fornecidas são:
- A densidade de corrente (módulo) é
, onde é uma constante e é a distância ao eixo do fio. - A região de interesse é o anel com
variando de até .
A pergunta é: qual é a corrente elétrica totalque passa por essa região anular?
Passo 2
Conceito que vamos usar: corrente elétrica através de uma seção plana é a integral da densidade de corrente sobre a área dessa seção. Em fórmula:
onde
é a corrente total,
é o vetor densidade de corrente e
é o elemento de área vetorial (módulo
e direção normal à superfície).
Aqui a densidade de corrente tem módulo dado por e, no caso de um fio com corrente ao longo do eixo, assume-se que
é paralelo ao vetor normal da seção transversal. Assim podemos trabalhar só com módulos e escrever diferencial de corrente como
Aqui a densidade de corrente tem módulo dado por
Passo 3
Descrição do elemento de área adequado ao problema: a seção transversal do fio é circular; a região anular pode ser vista como sobreposição de anéis infinitesimais de raio
e espessura
. O perímetro de cada anel é
, logo a área do anel infinitesimal é
Portanto o diferencial de corrente é
Passo 4
Montar e calcular a integral para a corrente total no anel, integrando
de
até
:
A primitiva de
é o logaritmo natural
. Assim,
Usando a propriedade dos logaritmos
e cancelando
obtemos
. Portanto
Passo 5
Interpretação rápida: o resultado não depende de
explicitamente porque a razão entre os limites produz
. A constante
carrega as unidades necessárias para que
tenha unidades de corrente. Boa: agora sabe montar a integral usando o elemento de área em coordenadas cilíndricas e integrar uma função
— a técnica é útil para muitos problemas com simetria circular.