75 Uma certa quantidade de gás ideal está contida em um cilindro que não permite a entrada nem a saída de calor (processo adiabático). A pressão inicial do gás é P_{1}=10^{5} P a; sabe-se que a razão dos volumes é V_{1} / V_{2}=100. Determine a pressão final P_{2}. Considere a constante adiabática \gamma=1,5.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente os dados do problema):
  • Pressão inicial: P_{1}=10^{5}\\ \text{Pa}.
  • Razão dos volumes: \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=100.
  • Processo: adiabático (não entra nem sai calor).
  • Constante adiabática: \gamma=1,5.
O que se pede:
  • Determinar a pressão final P_{2}.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (explicação passo a passo do conceito):
  • Para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante}.
  • Aqui P é a pressão, V é o volume e \gamma é a razão dos calores específicos (dado pelo enunciado).
  • Isso significa que entre dois estados 1 e 2 do processo adiabático temos
P_{1} V_{1}^{\gamma}=P_{2} V_{2}^{\gamma}.
  • Essa fórmula é direta de usar: ela liga as pressões e volumes inicial e final sem precisar calcular temperatura ou calor, porque o processo é adiabático.

Passo 3

Isolar P_{2} na relação adiabática:
P_{2}=P_{1}\,\frac{V_{1}^{\gamma}}{V_{2}^{\gamma}}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}.
  • Aqui foi usada a propriedade de potências \dfrac{a^{\gamma}}{b^{\gamma}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\gamma}.
  • Substituímos os dados conhecidos: P_{1}=10^{5}\\ \text{Pa} e \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=100 e \gamma=1,5.

Passo 4

Calcular numericamente:
P_{2}=10^{5}\left(100\right)^{1,5}.
Agora avalio \left(100\right)^{1,5}:
100 = 10^{2}\quad\Rightarrow\quad \left(100\right)^{1,5}=\left(10^{2}\right)^{1,5}=10^{2\cdot1,5}=10^{3}.
Portanto
P_{2}=10^{5}\cdot10^{3}=10^{8}\\ \text{Pa}.
  • Interpretação rápida: como \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=100>1 significa que o volume diminuiu de 1 para 2 (compressão), logo a pressão aumentou muito, chegando a 10^{8}\\ \text{Pa}.

Resposta

P_{2}=10^{8}\\ \text{Pa}

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