22 Uma bolha de ar sobe do fundo de um reservatório a 80 m de profundidade. A pressão atmosférica é de
. A temperatura é considerada constante. A que profundidade h o raio dessa bolha aumentará 2 vezes?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
-
Informações fornecidas:
- Profundidade inicial da bolha:
. - Pressão atmosférica:
. - A temperatura é considerada constante (processo isotérmico).
- Densidade da água (valor padrão que usaremos):
. - Aceleração da gravidade (valor padrão que usaremos):
.
- Profundidade inicial da bolha:
-
O que o enunciado pergunta:
- A que profundidade
(medida abaixo da superfície) o raio da bolha terá aumentado 2 vezes em relação ao raio inicial no fundo.
- A que profundidade
Passo 2
Entender a lei física que vale no problema (aula rápida e prática).
- Como a temperatura é constante para a bolha, ela obedece à lei de Boyle-Mariotte para um gás ideal: o produto pressão × volume é constante para massa de gás fixa em processo isotérmico. Em notação:
Aqui
é a pressão do gás dentro da bolha e
é o volume da bolha.
- Para uma esfera, o volume
está relacionado ao raio por:
Portanto, se o raio muda, o volume muda com o cubo do raio: uma duplicação do raio implica aumento do volume por um fator
.
Passo 3
Relacionar pressões nos dois estados usando Boyle (passo teórico seguido da equação).
- Seja
a pressão quando a bolha está no fundo ( ) e o raio inicial. - Seja
a pressão na profundidade onde o raio é .
Pela lei de Boyle, como a temperatura e a quantidade de gás não mudam:
Como
, tem-se
Passo 4
Expressar a pressão em função da profundidade (pressão hidrostática) — aula prática.
- A pressão absoluta a uma profundidade
na água é dada por:
Aqui:
-
é a pressão na superfície (dado: ), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a gravidade ( ), -
é a profundidade em metros. -
Logo:
Passo 5
Unir as duas relações e montar a equação para
.
- Já temos
. Substituindo as expressões hidrostáticas:
- Agora resolvemos essa equação para
. Isolando :
Passo 6
Calcular numericamente passo a passo (sem pular contas).
- Primeiro calcule
.
Calcule o produto
:
Então
- Em seguida
:
- Agora calcule
:
- Finalmente, obtenha
dividindo pela :
Passo 7
Interpretação e arredondamento (como apresentar na prova).
- O resultado numérico indica que a bolha dobra de raio muito perto da superfície: aproximadamente
abaixo da superfície. - Em provas costuma-se dar esse tipo de resultado com duas casas decimais:
.