22 Uma bolha de ar sobe do fundo de um reservatório a 80 m de profundidade. A pressão atmosférica é de 10^{5} \mathrm{~Pa}. A temperatura é considerada constante. A que profundidade h o raio dessa bolha aumentará 2 vezes?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Informações fornecidas:
    • Profundidade inicial da bolha: 80\\ \mathrm{m}.
    • Pressão atmosférica: P_{\text{atm}} = 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • A temperatura é considerada constante (processo isotérmico).
    • Densidade da água (valor padrão que usaremos): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Aceleração da gravidade (valor padrão que usaremos): g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O que o enunciado pergunta:
    • A que profundidade h (medida abaixo da superfície) o raio da bolha terá aumentado 2 vezes em relação ao raio inicial no fundo.

Passo 2

Entender a lei física que vale no problema (aula rápida e prática).
  • Como a temperatura é constante para a bolha, ela obedece à lei de Boyle-Mariotte para um gás ideal: o produto pressão × volume é constante para massa de gás fixa em processo isotérmico. Em notação:
P V = \text{constante}.
Aqui P é a pressão do gás dentro da bolha e V é o volume da bolha.
  • Para uma esfera, o volume V está relacionado ao raio r por:
V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}.
Portanto, se o raio muda, o volume muda com o cubo do raio: uma duplicação do raio implica aumento do volume por um fator 2^{3}=8.

Passo 3

Relacionar pressões nos dois estados usando Boyle (passo teórico seguido da equação).
  • Seja P_{1} a pressão quando a bolha está no fundo ( d_{1}=80\\ \mathrm{m}) e r_{1} o raio inicial.
  • Seja P_{2} a pressão na profundidade h onde o raio é r_{2}=2r_{1}.
Pela lei de Boyle, como a temperatura e a quantidade de gás não mudam:
P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}.
Como V_{2}/V_{1}=(r_{2}/r_{1})^{3}=2^{3}=8, tem-se
P_{2}=\frac{P_{1}}{8}.

Passo 4

Expressar a pressão em função da profundidade (pressão hidrostática) — aula prática.
  • A pressão absoluta a uma profundidade d na água é dada por:
P(d)=P_{\text{atm}}+\rho g d.
Aqui:
  • P_{\text{atm}} é a pressão na superfície (dado: 10^{5}\\ \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}),
  • d é a profundidade em metros.
  • Logo:
P_{1}=P_{\text{atm}}+\rho g\cdot 80, \qquad P_{2}=P_{\text{atm}}+\rho g\cdot h.

Passo 5

Unir as duas relações e montar a equação para h.
  • Já temos P_{2}=P_{1}/8. Substituindo as expressões hidrostáticas:
P_{\text{atm}}+\rho g h=\frac{1}{8}\bigl(P_{\text{atm}}+\rho g\cdot 80\bigr).
  • Agora resolvemos essa equação para h. Isolando h:
\rho g h=\frac{1}{8}\bigl(P_{\text{atm}}+\rho g\cdot 80\bigr)-P_{\text{atm}}.
h=\frac{\dfrac{1}{8}\bigl(P_{\text{atm}}+\rho g\cdot 80\bigr)-P_{\text{atm}}}{\rho g}.

Passo 6

Calcular numericamente passo a passo (sem pular contas).
  • Primeiro calcule P_{1}=P_{\text{atm}}+\rho g\cdot 80.
P_{1}=10^{5}+\;1000\cdot 9,8\cdot 80.
Calcule o produto \rho g\cdot 80:
1000\cdot 9,8\cdot 80 = 1000\cdot (9,8\cdot 80) = 1000\cdot 784 = 784000.
Então
P_{1}=100000+784000=884000\\ \mathrm{Pa}.
  • Em seguida P_{2}=P_{1}/8:
P_{2}=\frac{884000}{8}=110500\\ \mathrm{Pa}.
  • Agora calcule P_{2}-P_{\text{atm}}:
P_{2}-P_{\text{atm}}=110500-100000=10500\\ \mathrm{Pa}.
  • Finalmente, obtenha h dividindo pela \rho g:
h=\frac{10500}{1000\cdot 9,8}=\frac{10500}{9800}=1,07142857\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento (como apresentar na prova).
  • O resultado numérico indica que a bolha dobra de raio muito perto da superfície: aproximadamente 1,07\\ \mathrm{m} abaixo da superfície.
  • Em provas costuma-se dar esse tipo de resultado com duas casas decimais: h\approx 1,07\\ \mathrm{m}.

Resposta

h \approx 1,07\\ \mathrm{m}

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