Para um módulo voloumétrico de elasticidade constante, como varia a densidade de um fluido com a pressão? Resposta: rho2 / rho1=e^p2-p1E.

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: o enunciado pergunta como a densidade de um fluido muda quando a pressão varia, sabendo que ele tem módulo volumétrico E constante. Isso é um assunto de Mecânica dos Fluidos (ou Física básica de fluidos), e pra resolver a gente vai precisar:
  1. da definição de módulo volumétrico (bulk modulus),
  2. de entender a relação entre volume e densidade,
  3. de montar uma equação diferencial e integrar direitinho.

Passo 2

Primeiro, a parte teórica. O módulo volumétrico E é definido como
E ;=;-V,dpdV,,
ou seja, ele mede o quanto a pressão rho=mVLongrightarrow V=mrho, muda quando o volume dV = -mrho^2,drho ;;Rightarrow;; dVV = -drhorho, varia. Só que, pro nosso caso, fica mais prático trocar E = -V,dpdV = -V,dpdrho,drhodV = -V,dpdrho,l(-rhoVr) = rho,dpdrho, por densidade E = rho,dpdrho Longrightarrow dpdrho = Erho, . Lembre que massa é constante, então
Diferenciando em relação a :
Agora substitui isso na definição de :
Então a equação fica

Passo 3

Aí a gente separa variáveis pra integrar de um estado 1 pra um estado 2:
dpdrho = Erho longrightarrow drhorho = dpE,
Agora integramos ambos os lados entre integralrho1^rho2drhorho = integralp1^p2dpE Longrightarrow ln!l(rho2rho1r) = p2 - p1E, e :
Exponenciando os dois lados, chega na relação que a questão pedia.

Resposta

rho2rho1 = exp!l(p2 - p1Er)

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