Para um módulo voloumétrico de elasticidade constante, como varia a densidade de um fluido com a pressão? Resposta:
.
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem: o enunciado pergunta como a densidade de um fluido muda quando a pressão varia, sabendo que ele tem módulo volumétrico E constante. Isso é um assunto de Mecânica dos Fluidos (ou Física básica de fluidos), e pra resolver a gente vai precisar:
- da definição de módulo volumétrico (bulk modulus),
- de entender a relação entre volume e densidade,
- de montar uma equação diferencial e integrar direitinho.
Passo 2
Primeiro, a parte teórica. O módulo volumétrico E é definido como
ou seja, ele mede o quanto a pressão
muda quando o volume
varia. Só que, pro nosso caso, fica mais prático trocar
por densidade
. Lembre que massa
é constante, então
Diferenciando
em relação a
:
Agora substitui isso na definição de
:
Então a equação fica
Passo 3
Aí a gente separa variáveis pra integrar de um estado 1 pra um estado 2:
Agora integramos ambos os lados entre
e
:
Exponenciando os dois lados, chega na relação que a questão pedia.