Uma moeda é arremessada 50 vezes e seja \mathrm{Xn}=0 se der cara e \mathrm{Xn}=1 se der coroa. Repita o experimento anterior de forma a ter três realizações de um processo estocástico.
a) A seqüência obtida é independente ou markoviana? Porque?
b) Defina a nova seqüência através de
\begin{aligned} & Y_{1}=X_{1} \\\ & Y_{2}=\left(X_{1}+X_{2}\right) / 2 \\\ & \cdots \cdots \cdots \\\ & Y_{n}=\left(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}\right) / n \end{aligned}
Esta seqüência é markoviana ou não? Porque?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede):
  • Uma moeda é arremessada 50 vezes. Para cada lançamento define-se X_n=0 se sair cara e X_n=1 se sair coroa.
  • O experimento é repetido de modo a ter três realizações (ou seja, três trajetórias independentes do mesmo processo).
  • Pergunta (a): A sequência (X_n) obtida é independente ou markoviana? Justifique.
  • Pergunta (b): Definimos uma nova sequência (Y_n) por
Y_{1}=X_{1},\qquad Y_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{2},\qquad\ldots,\qquad Y_{n}=\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}.
Pergunta-se: esta sequência (Y_n) é markoviana ou não? Justifique.

Passo 2

O que significa ser “independente” e o que significa ser “markoviano” — vamos aprender isso direitinho (sem jargão).
  • Independência sequencial (no sentido usado aqui): dizemos que as variáveis (X_n) são independentes se, para todo n,
\mathbb{P}\big(X_{n+1}=x\mid X_n,X_{n-1},\dots,X_1\big)=\mathbb{P}\big(X_{n+1}=x\big),
ou seja, o conhecimento do passado não altera a distribuição do próximo.
  • Propriedade de Markov (cadeia de Markov de ordem 1): a sequência (Z_n) é markoviana se, para todo n,
\mathbb{P}\big(Z_{n+1}=z\mid Z_n,Z_{n-1},\dots,Z_1\big)=\mathbb{P}\big(Z_{n+1}=z\mid Z_n\big).
Isto é, o futuro dado o passado depende apenas do estado presente Z_n. Observação: independência é uma hipótese mais forte; se as variáveis são independentes, a igualdade acima se verifica (porque o lado esquerdo é igual à marginal), então uma sequência independente é também markoviana (de forma trivial).

Passo 3

Aplicando as definições ao processo (X_n) (moeda justa):
  • Por hipótese física do experimento (lançamentos de moeda independentes), cada lançamento é independente dos anteriores e cada X_n tem a mesma distribuição de Bernoulli com parâmetro p=\tfrac{1}{2}. Formalmente,
\mathbb{P}\big(X_{n+1}=1\mid X_n,\dots,X_1\big)=\mathbb{P}\big(X_{n+1}=1\big)=\tfrac{1}{2},
e o mesmo para X_{n+1}=0. Portanto (X_n) é uma sequência independente (na verdade i.i.d.).
  • Como vimos no passo anterior, se (X_n) é independente então a propriedade de Markov é satisfeita também: para todo n,
\mathbb{P}\big(X_{n+1}=x\mid X_n,\dots,X_1\big)=\mathbb{P}\big(X_{n+1}=x\big)=\mathbb{P}\big(X_{n+1}=x\mid X_n\big).
Logo (X_n) é markoviana também (é um exemplo trivial de cadeia de Markov).

Passo 4

Comentário sobre as três realizações: repetir o experimento para ter três realizações significa obter três trajetórias independentes do mesmo processo (X_n). Cada realização é uma sequência independente de lançamentos; as três trajetórias são independentes entre si se os experimentos forem realizados separadamente.

Passo 5

Agora estudamos (Y_n). Primeiro uma fórmula útil (recursão) para o valor médio amostral:
Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
A relação entre Y_{n+1} e Y_n é
Y_{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}X_i =\frac{n}{n+1}\,Y_n+\frac{1}{n+1}X_{n+1}.
Isto é importante: Y_{n+1} é uma combinação linear de Y_n e do novo lançamento X_{n+1}.

Passo 6

Verificamos se (Y_n) é independente (spoiler: não é). Vamos dar um contraexemplo numérico simples para ficar cristalino:
  • Se Y_1=1, então necessariamente X_1=1. Nesse caso
Y_2=\frac{X_1+X_2}{2}=\frac{1+X_2}{2}.
Assim
\mathbb{P}\big(Y_2=\tfrac{1}{2}\mid Y_1=1\big)=\mathbb{P}\big(X_2=0\mid Y_1=1\big)=\tfrac{1}{2},
porque X_2 é independente de X_1. Por outro lado, a probabilidade marginal
\mathbb{P}\big(Y_2=1\big)=\mathbb{P}(X_1=1,X_2=1)=\tfrac{1}{4}.
Compare (outro exemplo mais direto): se Y_1=0 então X_1=0 e
\mathbb{P}\big(Y_2=1\mid Y_1=0\big)=\mathbb{P}(X_2=1\mid Y_1=0)=\tfrac{1}{2},
mas \mathbb{P}(Y_2=1)=\tfrac{1}{4}. Como a probabilidade condicional difere da marginal, Y_2 e Y_1 não são independentes. Logo, a sequência (Y_n) não é independente.

Passo 7

Verificamos a propriedade de Markov para (Y_n)\). A ideia é usar a recursão do Passo 5 e o fato de que \(X_{n+1}\) é independente do passado. Seja \(Y_n=\tfrac{k}{n}\) (isto ocorre quando nas primeiras \(n\) observações houve exatamente \(k\) coroas). Então, usando a recursão, \[Y_{n+1}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{k}{n}+\frac{1}{n+1}X_{n+1}=\begin{cases} \dfrac{k}{n+1}, & \text{se }X_{n+1}=0,\\[6pt] \dfrac{k+1}{n+1}, & \text{se }X_{n+1}=1. \end{cases}
Portanto, condicionado em Y_n=\tfrac{k}{n}\], a variável \(Y_{n+1} só pode assumir os dois valores \tfrac{k}{n+1} e \tfrac{k+1}{n+1}, com probabilidades que vêm apenas da distribuição de X_{n+1}. Para moeda justa:
\mathbb{P}\big(Y_{n+1}=\tfrac{k}{n+1}\mid Y_n=\tfrac{k}{n}\big)=\mathbb{P}(X_{n+1}=0)=\tfrac{1}{2},
\mathbb{P}\big(Y_{n+1}=\tfrac{k+1}{n+1}\mid Y_n=\tfrac{k}{n}\big)=\mathbb{P}(X_{n+1}=1)=\tfrac{1}{2}.
Importante: essas probabilidades não dependem de Y_{n-1},Y_{n-2},\dots — apenas de Y_n (ou, equivalentemente, de k). Assim, para todo n,
\mathbb{P}\big(Y_{n+1}=y\mid Y_n,Y_{n-1},\dots,Y_1\big) =\mathbb{P}\big(Y_{n+1}=y\mid Y_n\big),
o que é exatamente a propriedade de Markov. Observação: as probabilidades de transição dependem de n (o processo não é homogêneo no tempo), mas isso não impede que seja markoviano.]

Passo 8

Resumo interpretativo e intuição final (amigável):
  • A sequência de lançamentos (X_n) é independente porque cada lance da moeda não é influenciado pelos anteriores; por ser independente ela satisfaz também a propriedade de Markov (é um caso trivial de cadeia de Markov).
  • A sequência de médias (Y_n) não é independente (o valor atual da média carrega informação sobre os lançamentos passados), mas é markoviana porque o próximo valor Y_{n+1} depende apenas do valor atual Y_n e do novo lançamento X_{n+1}, e X_{n+1} é independente do passado. Portanto o futuro de (Y_n) dado o presente não precisa do passado remoto — marca de Markov.
    Força aí — você já entendeu a diferença entre “independente” e “markoviana” e viu um exemplo concreto onde uma coisa não implica a outra (a média não é independente, mas ainda é markoviana).

Resposta

(a) (X_n) é independente; portanto também é markoviana.
(b) (Y_n) não é independente, mas é markoviana.

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