Uma moeda é arremessada 50 vezes e seja
se der cara e
se der coroa. Repita o experimento anterior de forma a ter três realizações de um processo estocástico.
a) A seqüência obtida é independente ou markoviana? Porque?
b) Defina a nova seqüência através de
Esta seqüência é markoviana ou não? Porque?
a) A seqüência obtida é independente ou markoviana? Porque?
b) Defina a nova seqüência através de
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede):
- Uma moeda é arremessada
vezes. Para cada lançamento define-se se sair cara e se sair coroa. - O experimento é repetido de modo a ter três realizações (ou seja, três trajetórias independentes do mesmo processo).
- Pergunta (a): A sequência
obtida é independente ou markoviana? Justifique. - Pergunta (b): Definimos uma nova sequência
por
Pergunta-se: esta sequência
é markoviana ou não? Justifique.
Passo 2
O que significa ser “independente” e o que significa ser “markoviano” — vamos aprender isso direitinho (sem jargão).
- Independência sequencial (no sentido usado aqui): dizemos que as variáveis
são independentes se, para todo ,
ou seja, o conhecimento do passado não altera a distribuição do próximo.
- Propriedade de Markov (cadeia de Markov de ordem
): a sequência é markoviana se, para todo ,
Isto é, o futuro dado o passado depende apenas do estado presente
. Observação: independência é uma hipótese mais forte; se as variáveis são independentes, a igualdade acima se verifica (porque o lado esquerdo é igual à marginal), então uma sequência independente é também markoviana (de forma trivial).
Passo 3
Aplicando as definições ao processo
(moeda justa):
- Por hipótese física do experimento (lançamentos de moeda independentes), cada lançamento é independente dos anteriores e cada
tem a mesma distribuição de Bernoulli com parâmetro . Formalmente,
e o mesmo para
. Portanto
é uma sequência independente (na verdade i.i.d.).
- Como vimos no passo anterior, se
é independente então a propriedade de Markov é satisfeita também: para todo ,
Logo
é markoviana também (é um exemplo trivial de cadeia de Markov).
Passo 4
Comentário sobre as três realizações: repetir o experimento para ter três realizações significa obter três trajetórias independentes do mesmo processo
. Cada realização é uma sequência independente de lançamentos; as três trajetórias são independentes entre si se os experimentos forem realizados separadamente.
Passo 5
Agora estudamos
. Primeiro uma fórmula útil (recursão) para o valor médio amostral:
A relação entre
e
é
Isto é importante:
é uma combinação linear de
e do novo lançamento
.
Passo 6
Verificamos se
é independente (spoiler: não é). Vamos dar um contraexemplo numérico simples para ficar cristalino:
- Se
, então necessariamente . Nesse caso
Assim
porque
é independente de
. Por outro lado, a probabilidade marginal
Compare (outro exemplo mais direto): se
então
e
mas
. Como a probabilidade condicional difere da marginal,
e
não são independentes. Logo, a sequência
não é independente.
Passo 7
Verificamos a propriedade de Markov para
Portanto, condicionado em
só pode assumir os dois valores
e
, com probabilidades que vêm apenas da distribuição de
. Para moeda justa:
Importante: essas probabilidades não dependem de
— apenas de
(ou, equivalentemente, de
). Assim, para todo
,
o que é exatamente a propriedade de Markov. Observação: as probabilidades de transição dependem de
(o processo não é homogêneo no tempo), mas isso não impede que seja markoviano.]
Passo 8
Resumo interpretativo e intuição final (amigável):
- A sequência de lançamentos
é independente porque cada lance da moeda não é influenciado pelos anteriores; por ser independente ela satisfaz também a propriedade de Markov (é um caso trivial de cadeia de Markov). - A sequência de médias
não é independente (o valor atual da média carrega informação sobre os lançamentos passados), mas é markoviana porque o próximo valor depende apenas do valor atual e do novo lançamento , e é independente do passado. Portanto o futuro de dado o presente não precisa do passado remoto — marca de Markov.
Força aí — você já entendeu a diferença entre “independente” e “markoviana” e viu um exemplo concreto onde uma coisa não implica a outra (a média não é independente, mas ainda é markoviana).
Resposta
(a)
é independente; portanto também é markoviana.
(b) não é independente, mas é markoviana.
(b)