Exercício 8. Os grupos sanguíneos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{AB} e O ocorrem na população com probabilidades 0.42,0.10,0.04 e 0.44 , respectivamente. Se 10 pessoas são selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de encontrarmos exatamente 5 com tipo \mathrm{O}, 3 com tipo \mathrm{A}, 1 com tipo B e 1 com tipo AB ?

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades dos tipos sanguíneos na população e pede a probabilidade de, numa seleção aleatória de 10 pessoas, encontrarmos exatamente 5 do tipo O, 3 do tipo A, 1 do tipo B e 1 do tipo AB.
Informações dadas:
P(\text{O})=0,44,\qquad P(\text{A})=0,42,\qquad P(\text{B})=0,10,\qquad P(\text{AB})=0,04.
O que se pede:
  • A probabilidade de obter exatamente 5 pessoas O, 3 pessoas A, 1 pessoa B e 1 pessoa AB entre 10 pessoas selecionadas.

Passo 2

Ideia e fórmula importante (explicação didática):
Quando temos várias categorias possíveis e cada indivíduo selecionado tem uma das categorias com probabilidades conhecidas, a probabilidade de obter contagens específicas em uma amostra fixa é dada pela fórmula multinomial. Vou explicar passo a passo.
  • Primeiro, se fixarmos uma ordem (por exemplo: nas 10 pessoas a sequência exata de tipos), a probabilidade de uma sequência específica em que apareçam exatamente 5 O, 3 A, 1 B e 1 AB é o produto das probabilidades dos tipos nessa ordem, por independência das escolhas. Por exemplo, para uma sequência particular:
P(\text{essa sequência})=(0,44)^5(0,42)^3(0,10)^1(0,04)^1.ê
Explicando: multiplicamos as probabilidades porque, para eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais. Aqui cada pessoa é uma “tentativa” independente com as mesmas probabilidades.
  • Segundo, há muitas sequências distintas (ordens) que resultam nas mesmas contagens (5,3,1,1). Precisamos contar quantas sequências distintas levam a essas contagens. Esse número é dado pelo coeficiente multinomial
\frac{10!}{5!\,3!\,1!\,1!}.
Explicando o coeficiente: 10! conta todas as permutações ordenadas de 10 posições; ao dividir por 5! e 3! e 1!,1! removemos as permutações internas entre elementos idênticos (as 5 pessoas O são indistinguíveis entre si para a contagem, e o mesmo para as 3 A, etc.).
  • Assim, a probabilidade pedida é
\frac{10!}{5!\,3!\,1!\,1!}\,(0,44)^5(0,42)^3(0,10)(0,04).

Passo 3

Calcular o coeficiente multinomial passo a passo (para eu e você conseguirmos fazer na prova sem calculadora complicada):
Começamos com
\frac{10!}{5!\,3!\,1!\,1!}.
Repare que 1!=1, então podemos ignorar os dois denominadores unitários. Também observe que
\frac{10!}{5!}=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6,
porque cancelar 5! deixa os fatores de 10 até 6. Agora dividimos por 3!=6. Então
\frac{10!}{5!\,3!\,1!\,1!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{3!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{6}.
Cortando o 6 do numerador com o 6 do denominador:
\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{6}=10\cdot9\cdot8\cdot7=5040.
Portanto o coeficiente é 5040.

Passo 4

Calcular as potências das probabilidades, com contas detalhadas:
  • (0,44)^2=0,1936.
  • (0,44)^3=0,1936\times0,44=0,085184.
  • (0,44)^4=0,085184\times0,44=0,03748296.
  • (0,44)^5=0,03748296\times0,44=0,0164914624.
  • (0,42)^2=0,1764.
  • (0,42)^3=0,1764\times0,42=0,074088.
  • (0,10)^1=0,10.
  • (0,04)^1=0,04.
Agora multiplicamos as peças parciais com cuidado:
Primeiro multiplico as duas potências maiores:
(0,44)^5(0,42)^3\approx 0,0164914624\times0,074088\approx0,0012218194663.
Explicando a conta: fiz a multiplicação longa por partes (pode dividir em 0,0164914624\times(0,07+0,004088) para facilitar).
Agora multiplico pelos dois fatores restantes (0,10)(0,04)=0,10\times0,04=0,004. Assim
(0,44)^5(0,42)^3(0,10)(0,04)\approx0,0012218194663\times0,004\approx0,0000048872778652.

Passo 5

Multiplicar pelo coeficiente e obter o resultado final:
Multiplicando pelo coeficiente 5040:
5040\times0,0000048872778652\approx0,0246318804406.
Interpretando: a probabilidade pedida é aproximadamente 0,02463, ou seja cerca de 2,463\%. Não se assuste: é um valor plausível — relativamente pequeno porque estamos exigindo contagens específicas numa amostra de 10.

Resposta

5040\cdot(0,44)^5(0,42)^3(0,10)(0,04)\approx0,0246318804406

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