Exercício 8. Os grupos sanguíneos
e O ocorrem na população com probabilidades
e 0.44 , respectivamente. Se 10 pessoas são selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de encontrarmos exatamente 5 com tipo
com tipo
com tipo B e 1 com tipo AB ?
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades dos tipos sanguíneos na população e pede a probabilidade de, numa seleção aleatória de 10 pessoas, encontrarmos exatamente 5 do tipo O, 3 do tipo A, 1 do tipo B e 1 do tipo AB.
Informações dadas:
O que se pede:
- A probabilidade de obter exatamente 5 pessoas O, 3 pessoas A, 1 pessoa B e 1 pessoa AB entre 10 pessoas selecionadas.
Passo 2
Ideia e fórmula importante (explicação didática):
Quando temos várias categorias possíveis e cada indivíduo selecionado tem uma das categorias com probabilidades conhecidas, a probabilidade de obter contagens específicas em uma amostra fixa é dada pela fórmula multinomial. Vou explicar passo a passo.
Quando temos várias categorias possíveis e cada indivíduo selecionado tem uma das categorias com probabilidades conhecidas, a probabilidade de obter contagens específicas em uma amostra fixa é dada pela fórmula multinomial. Vou explicar passo a passo.
- Primeiro, se fixarmos uma ordem (por exemplo: nas 10 pessoas a sequência exata de tipos), a probabilidade de uma sequência específica em que apareçam exatamente
O, A, B e AB é o produto das probabilidades dos tipos nessa ordem, por independência das escolhas. Por exemplo, para uma sequência particular:
Explicando: multiplicamos as probabilidades porque, para eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais. Aqui cada pessoa é uma “tentativa” independente com as mesmas probabilidades.
- Segundo, há muitas sequências distintas (ordens) que resultam nas mesmas contagens
. Precisamos contar quantas sequências distintas levam a essas contagens. Esse número é dado pelo coeficiente multinomial
Explicando o coeficiente:
conta todas as permutações ordenadas de 10 posições; ao dividir por
e
e
removemos as permutações internas entre elementos idênticos (as 5 pessoas O são indistinguíveis entre si para a contagem, e o mesmo para as 3 A, etc.).
- Assim, a probabilidade pedida é
Passo 3
Calcular o coeficiente multinomial passo a passo (para eu e você conseguirmos fazer na prova sem calculadora complicada):
Começamos com
Repare que
, então podemos ignorar os dois denominadores unitários. Também observe que
porque cancelar
deixa os fatores de
até
. Agora dividimos por
. Então
Cortando o
do numerador com o
do denominador:
Portanto o coeficiente é
.
Passo 4
Calcular as potências das probabilidades, com contas detalhadas:
-
. -
. -
. -
-
. -
-
. -
.
Agora multiplicamos as peças parciais com cuidado:
Primeiro multiplico as duas potências maiores:
Explicando a conta: fiz a multiplicação longa por partes (pode dividir em
para facilitar).
Agora multiplico pelos dois fatores restantes
. Assim
Passo 5
Multiplicar pelo coeficiente e obter o resultado final:
Multiplicando pelo coeficiente
:
Interpretando: a probabilidade pedida é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Não se assuste: é um valor plausível — relativamente pequeno porque estamos exigindo contagens específicas numa amostra de 10.