Exercício 7. De um grupo de 15 físicos, 10 são teóricos e 5 são experimentais. Se 6 físicos são escolhidos aleatoriamente para formar um comitê, qual a probabilidade de que exatamente 4 deles sejam teóricos?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, escolhendo aleatoriamente 6 físicos dentre 15, exatamente 4 sejam teóricos. Informações dadas:
- Total de físicos:
. - Físicos teóricos:
. - Físicos experimentais:
. - Tamanho do comitê:
. - Evento pedido: “exatamente 4 teóricos” (logo 2 experimentais, porque
).
Passo 2
Qual método vamos usar? Sem complicar: tratamos isso como um problema de contagem equiprovável — todas as escolhas de 6 pessoas entre 15 são igualmente prováveis. Para contar de forma direta usamos combinações (escolhas sem ordem). A ideia é:
- Contar quantas escolhas de 6 têm exatamente 4 teóricos e 2 experimentais (casos favoráveis).
- Dividir pelo número total de escolhas de 6 entre 15 (espaço amostral).
Vou usar combinações porque é a maneira padrão e prática para esse tipo de problema (evita contar permutações e lidar com ordem).
Passo 3
Explicando combinações (aula rápida e prática):
- A combinação
calcula o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos, sem importar a ordem. - Fórmula:
onde
(fatorial de
) é
. Exemplo rápido:
.
- Importante:
conta apenas combinações, então serve perfeitamente para contar comitês em que a ordem não importa.
Passo 4
Contagem dos casos favoráveis (exatamente 4 teóricos e 2 experimentais):
- Número de maneiras de escolher 4 teóricos dentre 10:
Calculemos:
- Número de maneiras de escolher 2 experimentais dentre 5:
- Pelo princípio multiplicativo, número total de casos favoráveis:
Passo 5
Contagem do espaço amostral (todas as escolhas de 6 entre 15):
Vamos calcular de forma prática:
Podemos simplificar em etapas (cancelando fatores), o resultado conhecido é
Passo 6
Agora a probabilidade é
Vamos simplificar essa fração:
- Dividindo numerador e denominador por
(ou fazendo cancelamentos por e depois por ), obtemos
Como referência numérica, isso é aproximadamente
ou seja cerca de
.
Passo 7
Dica rápida para a prova: em problemas desse tipo memorize o raciocínio — escolha dos teóricos vezes escolha dos experimentais sobre escolha total — e calcule combinações por cancelamento (evita números gigantes). Se der preguiça de simplificar, calcule as combinações menores primeiro como fizemos (
,
) e só então divida por
.