Exercício 7. De um grupo de 15 físicos, 10 são teóricos e 5 são experimentais. Se 6 físicos são escolhidos aleatoriamente para formar um comitê, qual a probabilidade de que exatamente 4 deles sejam teóricos?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, escolhendo aleatoriamente 6 físicos dentre 15, exatamente 4 sejam teóricos. Informações dadas:
  • Total de físicos: \,15.
  • Físicos teóricos: \,10.
  • Físicos experimentais: \,5.
  • Tamanho do comitê: \,6.
  • Evento pedido: “exatamente 4 teóricos” (logo 2 experimentais, porque 6-4=2).

Passo 2

Qual método vamos usar? Sem complicar: tratamos isso como um problema de contagem equiprovável — todas as escolhas de 6 pessoas entre 15 são igualmente prováveis. Para contar de forma direta usamos combinações (escolhas sem ordem). A ideia é:
  • Contar quantas escolhas de 6 têm exatamente 4 teóricos e 2 experimentais (casos favoráveis).
  • Dividir pelo número total de escolhas de 6 entre 15 (espaço amostral).
    Vou usar combinações porque é a maneira padrão e prática para esse tipo de problema (evita contar permutações e lidar com ordem).

Passo 3

Explicando combinações (aula rápida e prática):
  • A combinação \binom{n}{k} calcula o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem importar a ordem.
  • Fórmula:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. Exemplo rápido: \,4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
  • Importante: \binom{n}{k} conta apenas combinações, então serve perfeitamente para contar comitês em que a ordem não importa.

Passo 4

Contagem dos casos favoráveis (exatamente 4 teóricos e 2 experimentais):
  • Número de maneiras de escolher 4 teóricos dentre 10:
\binom{10}{4}.
Calculemos:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{5040}{24}=210.
  • Número de maneiras de escolher 2 experimentais dentre 5:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
  • Pelo princípio multiplicativo, número total de casos favoráveis:
\binom{10}{4}\cdot\binom{5}{2}=210\cdot10=2100.

Passo 5

Contagem do espaço amostral (todas as escolhas de 6 entre 15):
\binom{15}{6}.
Vamos calcular de forma prática:
\binom{15}{6}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Podemos simplificar em etapas (cancelando fatores), o resultado conhecido é
\binom{15}{6}=5005.

Passo 6

Agora a probabilidade é
P(\text{exatamente 4 teóricos})=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{total de casos}}=\frac{2100}{5005}.óá
Vamos simplificar essa fração:
  • Dividindo numerador e denominador por 35 (ou fazendo cancelamentos por 5 e depois por 7), obtemos
\frac{2100}{5005}=\frac{60}{143}.
Como referência numérica, isso é aproximadamente
\frac{60}{143}\approx 0,41958,
ou seja cerca de 41{,}958\%.

Passo 7

Dica rápida para a prova: em problemas desse tipo memorize o raciocínio — escolha dos teóricos vezes escolha dos experimentais sobre escolha total — e calcule combinações por cancelamento (evita números gigantes). Se der preguiça de simplificar, calcule as combinações menores primeiro como fizemos ( \binom{10}{4}=210, \binom{5}{2}=10) e só então divida por \binom{15}{6}.

Resposta

\dfrac{60}{143} (aprox. 0,41958)

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