Uma moeda honesta é lançada 5 vezes. Qual é a probabilidade de se obter pelo menos 3 caras?

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente vai lançar uma moeda honesta 5 vezes e quer saber qual a chance de sair pelo menos 3 caras.
Conteúdo da matéria: probabilidade binomial e combinação.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é variável aleatória binomial;
  • Saber a fórmula de combinação P(X = k) = C(n,k),p^k,(1-p)^,n-k ;
  • Usar a fórmula da probabilidade binomial

Passo 2

Primeiro, vamos ver por que é binomial:
– Cada lançamento é um “sucesso” (cara) com probabilidade P(X = k) = C(5,k),l(tfrac12r)^kl(tfrac12r)^5-k = C(5,k),l(tfrac12r)^5 ou “falha” (coroa) com probabilidade .
– Temos lançamentos independentes.
Então a variável = número de caras segue a distribuição binomial .
A fórmula básica é

Passo 3

Agora calculamos para C(5,3) = 5!3!,2! = 1206cdot2 = 10, P(X=3) = 10cdotl(tfrac12r)^5 = 1032 :
  1. Para C(5,4) = 5!4!,1! = 5, P(X=4) = 5cdotl(tfrac12r)^5 = 532 : C(5,5) = 1, P(X=5) = 1cdotl(tfrac12r)^5 = 132
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Como queremos “pelo menos 3 caras”, somamos essas probabilidades:
P(X>=3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 1032 + 532 + 132 = 1632 = 12

Resposta

A probabilidade de obter pelo menos 3 caras em 5 lançamentos é .

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