Uma moeda é lançada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades:
de ocorrer pelo menos duas caras

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar uma moeda 10 vezes, ocorrer pelo menos duas caras. Informações relevantes que temos:
  • Número de lançamentos: n=10.
  • Evento buscado: “pelo menos duas caras”, isto é, o número de caras X satisfaz X\ge 2.
  • Pressuposição usual: a moeda é justa, logo a probabilidade de cara em cada lançamento é p=\tfrac{1}{2}.
    Nada mais foi fornecido, então usarei esses dados para resolver.

Passo 2

Vamos modelar o número de caras X por uma distribuição binomial. A ideia e a fórmula:
  • Em n lançamentos independentes, com probabilidade de sucesso (cara) p em cada lançamento, a probabilidade de exatamente k sucessos é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas entre n deram sucesso.
Explicando cada símbolo:
  • n é o número total de tentativas ( n=10 aqui).
  • k é o número de sucessos que queremos (por exemplo k=0,1,2,\dots).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( p=\tfrac{1}{2} aqui).
  • \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”) é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (fatorial) é m!=m\cdot(m-1)\cdots1 e 0!=1.

Passo 3

Em vez de somar todas as probabilidades de k=2 até k=10, é mais simples usar o complementar:
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)\big).
Isso é válido porque os eventos “zero caras” e “uma cara” são os únicos complementares ao evento “pelo menos duas caras” num total de 10 lançamentos.

Passo 4

Calcular P(X=0). Usando a fórmula binomial com n=10, k=0 e p=\tfrac{1}{2}:
\binom{10}{0}=1,
P(X=0)=\binom{10}{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
Calculemos \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{1024}.

Passo 5

Calcular P(X=1). Usando k=1:
\binom{10}{1}=10,
P(X=1)=\binom{10}{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{9}=10\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\dfrac{1}{1024}, temos
P(X=1)=\dfrac{10}{1024}.

Passo 6

Agora volte ao complementar:
P(X\ge 2)=1-\left(P(X=0)+P(X=1)\right)=1-\left(\dfrac{1}{1024}+\dfrac{10}{1024}\right).
Somando os numeradores:
\dfrac{1}{1024}+\dfrac{10}{1024}=\dfrac{11}{1024},
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P(X\ge 2)=1-\dfrac{11}{1024}=\dfrac{1024-11}{1024}=\dfrac{1013}{1024}.

Passo 7

Para ter uma ideia prática em forma decimal, faça a divisão:
\dfrac{1013}{1024}\approx 0{,}9892578125.
Interpretação: é muito provável obter pelo menos duas caras em 10 lançamentos de uma moeda justa — cerca de 98{,}93\%.

Resposta

\dfrac{1013}{1024} \approx 0{,}9892578125

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