Uma moeda é lançada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades:
de ocorrer pelo menos duas caras
de ocorrer pelo menos duas caras
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar uma moeda
vezes, ocorrer pelo menos duas caras. Informações relevantes que temos:
- Número de lançamentos:
. - Evento buscado: “pelo menos duas caras”, isto é, o número de caras
satisfaz . - Pressuposição usual: a moeda é justa, logo a probabilidade de cara em cada lançamento é
.
Nada mais foi fornecido, então usarei esses dados para resolver.
Passo 2
Vamos modelar o número de caras
por uma distribuição binomial. A ideia e a fórmula:
- Em
lançamentos independentes, com probabilidade de sucesso (cara) em cada lançamento, a probabilidade de exatamente sucessos é dada por
onde
é o número de maneiras de escolher quais
tentativas entre
deram sucesso.
Explicando cada símbolo:
Explicando cada símbolo:
-
é o número total de tentativas ( aqui). -
é o número de sucessos que queremos (por exemplo ). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( aqui). -
(lê-se “n escolhe k”) é dado por
onde
(fatorial) é
e
.
Passo 3
Em vez de somar todas as probabilidades de
até
, é mais simples usar o complementar:
Isso é válido porque os eventos “zero caras” e “uma cara” são os únicos complementares ao evento “pelo menos duas caras” num total de 10 lançamentos.
Passo 4
Calcular
. Usando a fórmula binomial com
,
e
:
Calculemos
Passo 5
Calcular
. Usando
:
Como
, temos
Passo 6
Agora volte ao complementar:
Somando os numeradores:
logo
Passo 7
Para ter uma ideia prática em forma decimal, faça a divisão:
Interpretação: é muito provável obter pelo menos duas caras em
lançamentos de uma moeda justa — cerca de
.