Num processo de auditoria estima-se que 6 % das faturas encontram-se com algum problema. Da população de faturas é selecionada uma amostra de 10 faturas para serem avaliadas. Pergunta-se:
qual a probabilidade de que não haja fatura com problema?
qual a probabilidade de que não haja fatura com problema?
Passo 1
O enunciado fornece que a proporção (probabilidade) de faturas com problema é
. Foi selecionada uma amostra de
faturas. A pergunta é: qual a probabilidade de que não haja nenhuma fatura com problema na amostra de
faturas?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Probabilidade de uma fatura ter problema:
. - Tamanho da amostra (número de ensaios):
. - Queremos a probabilidade de zero faturas com problema, ou seja
.
Passo 2
Modelo probabilístico e por que usá-lo (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (cada fatura avaliada é uma tentativa) e cada tentativa tem somente dois resultados possíveis (problema / sem problema) com mesma probabilidade de “sucesso” (aqui “sucesso” = ter problema), o número de sucessos
em
tentativas segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (cada fatura avaliada é uma tentativa) e cada tentativa tem somente dois resultados possíveis (problema / sem problema) com mesma probabilidade
onde:
-
é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras podemos escolher sucessos entre tentativas; -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa; -
é a probabilidade de fracasso (aqui: fatura sem problema); -
é o número de sucessos que queremos (aqui ).
No nosso caso assumimos independência e que a população é suficientemente grande para que a retirada seja (aproximadamente) com reposição — por isso o modelo binomial é apropriado.
Passo 3
Aplicar a fórmula para
:
Substituindo ,
e
na fórmula binomial:
Substituindo
Explicando os termos:
-
porque há exatamente uma maneira de escolher zero sucessos; -
; -
é a probabilidade de uma fatura não ter problema.
Portanto a expressão simplifica para:
Passo 4
Calcular
passo a passo (maneira sem usar calculadora complexa):
Primeiro calcule algumas potências intermediárias:
Primeiro calcule algumas potências intermediárias:
Finalmente:
Arredondando razoavelmente para quatro casas decimais:
.
Interpretação rápida: cerca de de chance de que nenhuma das
faturas tenha problema.
Interpretação rápida: cerca de
Passo 5
Resumo didático para a prova (o que memorizar e aplicar rápido):
- Identifique
, e . - Use a fórmula binomial
. - Para
a resposta sempre será .
Aqui, na prova basta escrevere, se pedir valor numérico, calcular ou apresentar aproximação . Força aí — você tá indo bem!