Num processo de auditoria estima-se que 6 % das faturas encontram-se com algum problema. Da população de faturas é selecionada uma amostra de 10 faturas para serem avaliadas. Pergunta-se:
qual a probabilidade de que não haja fatura com problema?

Passo 1

O enunciado fornece que a proporção (probabilidade) de faturas com problema é 0{,}06. Foi selecionada uma amostra de 10 faturas. A pergunta é: qual a probabilidade de que não haja nenhuma fatura com problema na amostra de 10 faturas?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Probabilidade de uma fatura ter problema: p=0{,}06.
  • Tamanho da amostra (número de ensaios): n=10.
  • Queremos a probabilidade de zero faturas com problema, ou seja k=0.

Passo 2

Modelo probabilístico e por que usá-lo (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (cada fatura avaliada é uma tentativa) e cada tentativa tem somente dois resultados possíveis (problema / sem problema) com mesma probabilidade p de “sucesso” (aqui “sucesso” = ter problema), o número de sucessos X em n tentativas segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras podemos escolher k sucessos entre n tentativas;
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa;
  • 1-p é a probabilidade de fracasso (aqui: fatura sem problema);
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=0).
    No nosso caso assumimos independência e que a população é suficientemente grande para que a retirada seja (aproximadamente) com reposição — por isso o modelo binomial é apropriado.

Passo 3

Aplicar a fórmula para k=0:
Substituindo n=10, p=0{,}06 e k=0 na fórmula binomial:
P(X=0)=\binom{10}{0}\,(0{,}06)^{0}\,(1-0{,}06)^{10}.
Explicando os termos:
  • \binom{10}{0}=1 porque há exatamente uma maneira de escolher zero sucessos;
  • (0{,}06)^{0}=1;
  • 1-0{,}06=0{,}94 é a probabilidade de uma fatura não ter problema.
    Portanto a expressão simplifica para:
P(X=0)=0{,}94^{10}.

Passo 4

Calcular 0{,}94^{10} passo a passo (maneira sem usar calculadora complexa):
Primeiro calcule algumas potências intermediárias:
0{,}94^{2}=0{,}8836.
0{,}94^{4}=(0{,}94^{2})^{2}=0{,}8836^{2}=0{,}780757\ldots
0{,}94^{8}=(0{,}94^{4})^{2}\approx0{,}780757^{2}\approx0{,}609583\ldots
Finalmente:
0{,}94^{10}=0{,}94^{8}\cdot0{,}94^{2}\approx0{,}609583\cdot0{,}8836\approx0{,}5386275\ldots
Arredondando razoavelmente para quatro casas decimais: 0{,}5386.
Interpretação rápida: cerca de 53{,}86\% de chance de que nenhuma das 10 faturas tenha problema.

Passo 5

Resumo didático para a prova (o que memorizar e aplicar rápido):
  • Identifique n, p e k.
  • Use a fórmula binomial \;P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
  • Para k=0 a resposta sempre será (1-p)^{n}.
    Aqui, na prova basta escrever (1-0{,}06)^{10}=0{,}94^{10} e, se pedir valor numérico, calcular ou apresentar aproximação 0{,}5386. Força aí — você tá indo bem!

Resposta

\;0{,}94^{10}\approx0{,}5386

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