Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
(a) três caras;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de ocorrerem três caras ao lançar uma moeda 3 vezes. As informações relevantes são:
  • Número de lançamentos: 3.
  • Evento pedido: “três caras”, que corresponde à sequência CCC dos resultados.
  • Assumimos que a moeda é honesta (probabilidade de cara em um lançamento é 1/2). Caso a moeda fosse viciada com probabilidade de cara igual a p, podemos dar a resposta geral.

Passo 2

Construir o espaço amostral (todos os resultados possíveis) ajuda a visualizar. Cada lançamento tem duas possibilidades: cara (C) ou coroa (K). Para 3 lançamentos, os resultados possíveis são todas as sequências de comprimento 3 formadas por C ou K:
S={CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK}.
Contagem: o número total de resultados possíveis é 2^3=8 (cada lançamento dobra as possibilidades, logo multiplicam-se as possibilidades).

Passo 3

Identificar os resultados favoráveis ao evento “três caras”. Só a sequência CCC atende ao evento. Logo, o número de resultados favoráveis é 1.

Passo 4

Se assumimos que os 8 resultados são igualmente prováveis (situação de moeda honesta e lançamentos independentes), a probabilidade do evento é razão entre favoráveis e totais:
Pr(três caras) = 1/8.
Outra forma — usando independência e multiplicação de probabilidades —: a probabilidade de cara em um lançamento é 1/2; como os lançamentos são independentes, a probabilidade de obter cara nos três é
Pr(CCC) = Pr(C) * Pr(C) * Pr(C) = (1/2)^3 = 1/8.
Independência significa que o resultado de um lançamento não afeta o outro, então a probabilidade conjunta de eventos independentes é o produto das probabilidades individuais.

Passo 5

Resposta no caso geral (moeda com probabilidade de cara igual a p): se Pr(C) = p, então
Pr(três caras) = p^3.
Exemplo concreto: se p=0,6, então Pr(três caras) = 0,6^3 = 0,216.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (modo prático): desenhe uma árvore de possibilidades para 2 ou 3 lançamentos; conte resultados igualmente prováveis; para “exatamente k” caras em n lançamentos use combinatória (n choose k) se precisar; para “todos” os lançamentos como aqui, simplesmente multiplique as probabilidades individuais.

Resposta

\tfrac{1}{8}

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