Uma moeda é lançada 3 vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
2 caras e uma coroa.

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda é lançada 3 vezes e pede a probabilidade de obter exatamente 2 caras e 1 coroa. Vou listar explicitamente o que temos e a suposição natural que faço:
  • Número de lançamentos: n=3.
  • Evento desejado: exatamente 2 caras e 1 coroa.
  • Vou assumir que a moeda é justa (isso é o entendimento padrão a menos que digam o contrário), ou seja, a probabilidade de cara é P(\text{cara})=\tfrac{1}{2} e a de coroa é P(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Precisamos entender o espaço amostral (todas as sequências possíveis de resultados). Cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa). Usando C para cara e R para coroa, as 2^3 sequências possíveis são:
(C,C,C),\\ (C,C,R),\\ (C,R,C),\\ (C,R,R),\\ (R,C,C),\\ (R,C,R),\\ (R,R,C),\\ (R,R,R).
Portanto o total de resultados possíveis (assumindo que todos são igualmente prováveis) é \,2^3=8.

Passo 3

Agora identificamos os resultados que têm exatamente 2 caras e 1 coroa. Na lista do passo anterior esses resultados são:
(C,C,R),\\ (C,R,C),\\ (R,C,C).
Há exatamente 3 resultados favoráveis.

Passo 4

Explicar por que há 3 resultados favoráveis de outra maneira (contagem combinatória): escolher as posições das 2 caras entre as 3 jogadas. O número de maneiras de escolher k posições entre n é o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Aqui
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=\frac{6}{2\cdot1}=3,
o que confirma que há 3 maneiras.

Passo 5

Agora calculamos a probabilidade. Como todos os 8 resultados são igualmente prováveis e há 3 favoráveis, a probabilidade é
P=\frac{\text{nº favoráveis}}{\text{nº total}}=\frac{3}{8}.ºáº
Outra forma (fórmula binomial) é usar
P(\text{exatamente }k\text{ caras})=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
onde n=3, k=2 e p=P(\text{cara})=\tfrac{1}{2}. Isso dá
P=\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=3\cdot\left(\tfrac{1}{8}\right)=\tfrac{3}{8}.

Passo 6

Resumo prático para a prova: conte as sequências (ou use \binom{n}{k}), calcule o número favorável ( 3) e divida pelo total ( 2^3=8). Respire fundo — ficou simples no final!

Resposta

\dfrac{3}{8}

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