Uma moeda é lançada 3 vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
nenhuma cara.

Passo 1

O enunciado pede: “Uma moeda é lançada 3 vezes. Ache a probabilidade de se obterem nenhuma cara.”
Informações dadas e entendidas (assumindo moeda justa, que é o caso típico quando não dizem o contrário):
  • 3 lançamentos independentes da moeda.
  • Queremos a probabilidade de que em nenhum dos 3 lançamentos saia cara — isto é, sair apenas coroas (ou “tails”) em todos os lançamentos.

Passo 2

Definir claramente o espaço amostral e os eventos favoráveis.
Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara ( C) ou coroa ( K). Para 3 lançamentos, os resultados possíveis (sequências) são 2^3 no total. Liste-os mentalmente ou explicitamente:
\{CCC,\; CCK,\; CKC,\; CKK,\; KCC,\; KCK,\; KKC,\; KKK\}.
Portanto, o número total de resultados igualmente possíveis é 8.

Passo 3

Identificar os resultados favoráveis ao evento “nenhuma cara”.
" Nenhuma cara" significa que em todos os lançamentos saiu coroa, isto é a sequência \,KKK\,. Assim:
  • Número de resultados favoráveis = 1.

Passo 4

Usar a ideia de equiprobabilidade (moeda justa) para obter a probabilidade por contagem.
Se todos os 8 resultados são igualmente prováveis e apenas 1 deles é favorável, então
P(\text{nenhuma cara})=\frac{\text{número de favoráveis}}{\text{número total}}=\frac{1}{8}.úáú

Passo 5

Explicar de outro jeito (regra do produto / independência), que costuma ser útil na prova.
Se os lançamentos são independentes e a moeda é justa, a probabilidade de coroa em um lançamento é \tfrac{1}{2}. Pela regra do produto para eventos independentes, a probabilidade de obter coroa nos três lançamentos é
P(KKK)=P(K)\cdot P(K)\cdot P(K)=\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
Isso bate com o cálculo por contagem.

Passo 6

Apresentar a formulação via distribuição binomial (útil para casos semelhantes na prova) e generalizar.
Seja X o número de caras em n lançamentos de uma moeda justa. Então
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k},
onde n=3, k=0 (nenhuma cara) e p=\tfrac{1}{2} (probabilidade de cara). Substituindo:
P(X=0)=\binom{3}{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=1\cdot 1\cdot \tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{8}.
Regra prática para a prova: para uma moeda justa, a probabilidade de não obter cara em n lançamentos é \left(\tfrac{1}{2}\right)^n.

Resposta

\tfrac{1}{8}

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