Uma moeda é lançada 3 vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
nenhuma cara.
nenhuma cara.
Passo 1
O enunciado pede: “Uma moeda é lançada 3 vezes. Ache a probabilidade de se obterem nenhuma cara.”
Informações dadas e entendidas (assumindo moeda justa, que é o caso típico quando não dizem o contrário):
Informações dadas e entendidas (assumindo moeda justa, que é o caso típico quando não dizem o contrário):
- Há
lançamentos independentes da moeda. - Queremos a probabilidade de que em nenhum dos 3 lançamentos saia cara — isto é, sair apenas coroas (ou “tails”) em todos os lançamentos.
Passo 2
Definir claramente o espaço amostral e os eventos favoráveis.
Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara ( ) ou coroa (
). Para
lançamentos, os resultados possíveis (sequências) são
no total. Liste-os mentalmente ou explicitamente:
Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara (
Portanto, o número total de resultados igualmente possíveis é
.
Passo 3
Identificar os resultados favoráveis ao evento “nenhuma cara”.
" Nenhuma cara" significa que em todos os lançamentos saiu coroa, isto é a sequência . Assim:
" Nenhuma cara" significa que em todos os lançamentos saiu coroa, isto é a sequência
- Número de resultados favoráveis =
.
Passo 4
Usar a ideia de equiprobabilidade (moeda justa) para obter a probabilidade por contagem.
Se todos os resultados são igualmente prováveis e apenas
deles é favorável, então
Se todos os
Passo 5
Explicar de outro jeito (regra do produto / independência), que costuma ser útil na prova.
Se os lançamentos são independentes e a moeda é justa, a probabilidade de coroa em um lançamento é . Pela regra do produto para eventos independentes, a probabilidade de obter coroa nos três lançamentos é
Se os lançamentos são independentes e a moeda é justa, a probabilidade de coroa em um lançamento é
Isso bate com o cálculo por contagem.
Passo 6
Apresentar a formulação via distribuição binomial (útil para casos semelhantes na prova) e generalizar.
Seja o número de caras em
lançamentos de uma moeda justa. Então
Seja
onde
,
(nenhuma cara) e
(probabilidade de cara). Substituindo:
Regra prática para a prova: para uma moeda justa, a probabilidade de não obter cara em
lançamentos é
.