Uma moeda será lançada quatro vezes e todos os lançamentos são independentes uns dos outros. Determine a probabilidade de obtermos:
(a) 2 coroas
(a) 2 coroas
Passo 1
O enunciado diz: uma moeda é lançada quatro vezes, todos os lançamentos são independentes. Pede-se a probabilidade de obter exatamente 2 coroas entre os 4 lançamentos.\n
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
- Número de lançamentos:
. - Cada lançamento tem dois resultados possíveis: “coroa” ou “cara”.
- Os lançamentos são independentes (o resultado de um não altera as probabilidades dos outros).
- A moeda é justa (pressuposição padrão a menos que o enunciado diga o contrário), então a probabilidade de coroa em um lançamento é
e a de cara é . - O que se pede:
.
Passo 2
Entendendo o espaço amostral e a independência: cada lançamento tem
resultados possíveis; como são
lançamentos independentes, o número total de sequências possíveis é
Essas
sequências representam todos os resultados equiprováveis (cada sequência tem a mesma probabilidade se a moeda for justa).
Passo 3
Probabilidade de uma sequência específica: por independência, a probabilidade de uma sequência determinada (por exemplo, coroa, cara, cara, coroa) é o produto das probabilidades de cada lançamento. Como cada lançamento tem probabilidade
para coroa ou cara, a probabilidade de qualquer sequência de
resultados é
Isso vale para qualquer sequência fixa de 4 resultados.
Passo 4
Contar quantas sequências possuem exatamente 2 coroas: obter exatamente 2 coroas em 4 lançamentos significa escolher em quais
das
posições aparecerá a coroa; as outras
posições serão cara. O número de maneiras de escolher
posições entre
é dado pelo coeficiente binomial
Explicando o coeficiente binomial:
conta o número de formas de escolher
objetos dentre
sem ordem, e é dado pela fórmula
onde
(fatorial) é
(por exemplo
).
Passo 5
Calcular
:
Para ficar mais concreto, as
sequências com exatamente
coroas são, por exemplo:
(coroa, coroa, cara, cara),
(coroa, cara, coroa, cara),
(coroa, cara, cara, coroa),
(cara, coroa, coroa, cara),
(cara, coroa, cara, coroa),
(cara, cara, coroa, coroa).
(coroa, coroa, cara, cara),
(coroa, cara, coroa, cara),
(coroa, cara, cara, coroa),
(cara, coroa, coroa, cara),
(cara, coroa, cara, coroa),
(cara, cara, coroa, coroa).
Passo 6
Agora usamos que cada sequência tem probabilidade
e há
sequências favoráveis. Então a probabilidade pedida é
Passo 7
Interpretação geral (fórmula que vale na prova): para
lançamentos independentes de uma moeda justa (probabilidade de coroa
) e querendo exatamente
coroas, usa-se a distribuição binomial:
No nosso caso
,
,
, o que dá o cálculo que fizemos. Está pronto — você consegue aplicar isso rapidamente na prova.