Uma moeda será lançada quatro vezes e todos os lançamentos são independentes uns dos outros. Determine a probabilidade de obtermos:
(a) 2 coroas

Passo 1

O enunciado diz: uma moeda é lançada quatro vezes, todos os lançamentos são independentes. Pede-se a probabilidade de obter exatamente 2 coroas entre os 4 lançamentos.\n
Informações importantes dadas:
  • Número de lançamentos: 4.
  • Cada lançamento tem dois resultados possíveis: “coroa” ou “cara”.
  • Os lançamentos são independentes (o resultado de um não altera as probabilidades dos outros).
  • A moeda é justa (pressuposição padrão a menos que o enunciado diga o contrário), então a probabilidade de coroa em um lançamento é \tfrac{1}{2} e a de cara é \tfrac{1}{2}.
  • O que se pede: P(\text{exatamente 2 coroas em 4 lançamentos})ç.

Passo 2

Entendendo o espaço amostral e a independência: cada lançamento tem 2 resultados possíveis; como são 4 lançamentos independentes, o número total de sequências possíveis é
2^4 = 16.
Essas 16 sequências representam todos os resultados equiprováveis (cada sequência tem a mesma probabilidade se a moeda for justa).

Passo 3

Probabilidade de uma sequência específica: por independência, a probabilidade de uma sequência determinada (por exemplo, coroa, cara, cara, coroa) é o produto das probabilidades de cada lançamento. Como cada lançamento tem probabilidade \tfrac{1}{2} para coroa ou cara, a probabilidade de qualquer sequência de 4 resultados é
\left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = \tfrac{1}{16}.
Isso vale para qualquer sequência fixa de 4 resultados.

Passo 4

Contar quantas sequências possuem exatamente 2 coroas: obter exatamente 2 coroas em 4 lançamentos significa escolher em quais 2 das 4 posições aparecerá a coroa; as outras 2 posições serão cara. O número de maneiras de escolher 2 posições entre 4 é dado pelo coeficiente binomial
\binom{4}{2}.
Explicando o coeficiente binomial: \binom{n}{k} conta o número de formas de escolher k objetos dentre n sem ordem, e é dado pela fórmula
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot1 (por exemplo 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24).

Passo 5

Calcular \binom{4}{2}:
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6.
Para ficar mais concreto, as 6 sequências com exatamente 2 coroas são, por exemplo:
(coroa, coroa, cara, cara),
(coroa, cara, coroa, cara),
(coroa, cara, cara, coroa),
(cara, coroa, coroa, cara),
(cara, coroa, cara, coroa),
(cara, cara, coroa, coroa).

Passo 6

Agora usamos que cada sequência tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^4=\tfrac{1}{16} e há \binom{4}{2}=6 sequências favoráveis. Então a probabilidade pedida é
\binom{4}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = 6\cdot\tfrac{1}{16} = \tfrac{6}{16}.

Passo 7

Interpretação geral (fórmula que vale na prova): para n lançamentos independentes de uma moeda justa (probabilidade de coroa p=\tfrac{1}{2}) e querendo exatamente k coroas, usa-se a distribuição binomial:
P(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}.
No nosso caso n=4, k=2, p=\tfrac{1}{2}, o que dá o cálculo que fizemos. Está pronto — você consegue aplicar isso rapidamente na prova.

Resposta

\tfrac{3}{8}

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