Questão 2 (
ponto). Sejam
e
dois eventos associados a um experimento. Suponha que
e
. Calcule
nas seguintes condições:
b) A e B são eventos mutuamente excludentes.
b) A e B são eventos mutuamente excludentes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sabendo que foram dadas as seguintes informações:
e que, no caso (b), os eventos
e
são mutuamente excludentes.
A pergunta clara é: qual é o valor de ?
A pergunta clara é: qual é o valor de
Passo 2
Vamos entender o que significa “mutuamente excludentes”.
Eventos mutuamente excludentes são aqueles que não podem ocorrer ao mesmo tempo. Em termos de probabilidade, isso quer dizer que a interseção dos eventos tem probabilidade zero:
Eventos mutuamente excludentes são aqueles que não podem ocorrer ao mesmo tempo. Em termos de probabilidade, isso quer dizer que a interseção dos eventos tem probabilidade zero:
Intuição rápida: se
acontece,
necessariamente não acontece, e vice-versa.
Passo 3
Agora, a fórmula geral que relaciona as probabilidades de união e interseção de dois eventos é:
Explicando cada termo:
é a probabilidade do evento
ocorrer,
é a probabilidade do evento
ocorrer, e
é a probabilidade dos dois ocorrerem simultaneamente. Subtraímos
porque ao somar
contamos duas vezes a parte comum a ambos.
Passo 4
Como
e
são mutuamente excludentes temos
. Substituindo na fórmula geral obtemos:
Ou seja, para eventos mutuamente excludentes, a probabilidade da união é simplesmente a soma das probabilidades.
Passo 5
Agora fazemos a soma numérica. Primeiro escrevemos ambas as frações com o mesmo denominador para somar facilmente. Temos
e
. Então
Passo a passo da conta: converti
em
porque
(multiplicando numerador e denominador por
), somei os numeradores
e mantive o denominador
.
Passo 6
Cheque rápido de consistência:
que é menor que
, e faz sentido porque soma de probabilidades de eventos mutuamente excludentes não pode exceder
. Está tudo coerente.