Questão 2 ( \mathbf{2 , 0} ponto). Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A)=1 / 8 e P(B)=1 / 2. Calcule P(A U B) nas seguintes condições:
a) A e B são eventos independentes.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B com as probabilidades \displaystyle P(A)=\frac{1}{8} e \displaystyle P(B)=\frac{1}{2}. A pergunta é: calcular \displaystyle P(A\cup B) no caso em que A e B são independentes.
Informações relevantes que temos:
\displaystyle P(A)=\frac{1}{8}
\displaystyle P(B)=\frac{1}{2}
Os eventos são independentes (esta informação será usada para obter P(A\cap B)).

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a probabilidade da união de dois eventos é dada por
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicando cada termo: \displaystyle P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos); \displaystyle P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos simultaneamente. A fórmula corrige a soma P(A)+P(B) subtraindo a interseção para não contar duas vezes os resultados em que A e B ocorrem juntos.

Passo 3

Definição de independência (usada aqui): dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Em termos de probabilidades isso implica
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Vou usar essa igualdade para calcular a interseção a partir dos valores dados.

Passo 4

Calcular \displaystyle P(A\cap B) usando independência e a regra de multiplicação de frações (multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador):
P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{8\cdot 2}=\frac{1}{16}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da união. Primeiro somamos \displaystyle P(A) e \displaystyle P(B), transformando em denominator comum:
P(A)+P(B)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{4}{8}=\frac{5}{8}.
Substituindo \displaystyle P(A\cap B)=\frac{1}{16} na fórmula da união obtemos a expressão
P(A\cup B)=\frac{5}{8}-\frac{1}{16}=\frac{10}{16}-\frac{1}{16}.

Passo 6

Raciocínio de checagem rápida (sem repetir a resposta final): como \displaystyle P(A\cap B)>0, a união é menor que \displaystyle P(A)+P(B) e maior ou igual que cada uma das probabilidades individuais. Além disso a expressão já está escrita com denominador comum, pronta para simplificar ao resultado final que eu apresento a seguir.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{16}

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