Questão 2 (
ponto). Sejam
e
dois eventos associados a um experimento. Suponha que
e
. Calcule
nas seguintes condições:
a)
e
são eventos independentes.
a)
Passo 1
O enunciado dá dois eventos
e
com as probabilidades
e
. A pergunta é: calcular
no caso em que
e
são independentes.
Informações relevantes que temos:
Os eventos são independentes (esta informação será usada para obter ).
Informações relevantes que temos:
Os eventos são independentes (esta informação será usada para obter
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a probabilidade da união de dois eventos é dada por
Explicando cada termo:
é a probabilidade de ocorrer
ou
(ou ambos);
é a probabilidade de ocorrerem ambos simultaneamente. A fórmula corrige a soma
subtraindo a interseção para não contar duas vezes os resultados em que
e
ocorrem juntos.
Passo 3
Definição de independência (usada aqui): dois eventos
e
são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Em termos de probabilidades isso implica
Vou usar essa igualdade para calcular a interseção a partir dos valores dados.
Passo 4
Calcular
usando independência e a regra de multiplicação de frações (multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador):
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da união. Primeiro somamos
e
, transformando em denominator comum:
Substituindo
na fórmula da união obtemos a expressão
Passo 6
Raciocínio de checagem rápida (sem repetir a resposta final): como
, a união é menor que
e maior ou igual que cada uma das probabilidades individuais. Além disso a expressão já está escrita com denominador comum, pronta para simplificar ao resultado final que eu apresento a seguir.