Uma moeda será lançada quatro vezes e todos os lançamentos são independentes uns dos outros. Determine a probabilidade de obtermos:
(b) 3 caras
(b) 3 caras
Passo 1
O enunciado diz que uma moeda é lançada quatro vezes, com lançamentos independentes, e pede a probabilidade de obter exatamente 3 caras no total.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Número de lançamentos:
.\n - Cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa) e é independente.\n
- Queremos exatamente 3 caras (e, portanto, 1 coroa).\n
Passo 2
Vamos traduzir isso para um problema de contagem/probabilidade. Quando lidamos com vários lançamentos independentes e queremos exatamente um certo número de sucessos (aqui “cara”), o que importa são: (1) quantos resultados possíveis existem ao todo, e (2) quantos desses resultados têm exatamente 3 caras. A probabilidade é sempre
Passo 3
Calcular o número total de resultados possíveis. Cada lançamento tem 2 resultados, com 4 lançamentos o total de sequências possíveis é
Explicação rápida: para formar uma sequência de 4 tosses escolhemos uma opção entre 2 em cada uma das 4 posições, então multiplicamos
.
Passo 4
Calcular o número de sequências com exatamente 3 caras. Isso é um problema de combinações: entre as 4 posições, escolhemos quais 3 serão caras. O número de maneiras de escolher
posições entre
é dado pelo coeficiente binomial
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto
. Aqui
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula do binômio:
Interpretação: há exatamente 4 sequências diferentes com 3 caras (por exemplo, C C C R, C C R C, C R C C, R C C C — estou usando C = cara e R = coroa).
Passo 6
Agora a probabilidade de exatamente 3 caras é
Passo 7
Simplificando a fração: