Uma moeda será lançada quatro vezes e todos os lançamentos são independentes uns dos outros. Determine a probabilidade de obtermos:
(b) 3 caras

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda é lançada quatro vezes, com lançamentos independentes, e pede a probabilidade de obter exatamente 3 caras no total.
Informações dadas:
  • Número de lançamentos: \,4.\n
  • Cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa) e é independente.\n
  • Queremos exatamente 3 caras (e, portanto, 1 coroa).\n

Passo 2

Vamos traduzir isso para um problema de contagem/probabilidade. Quando lidamos com vários lançamentos independentes e queremos exatamente um certo número de sucessos (aqui “cara”), o que importa são: (1) quantos resultados possíveis existem ao todo, e (2) quantos desses resultados têm exatamente 3 caras. A probabilidade é sempre
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número de resultados possíveis}}.úáúí

Passo 3

Calcular o número total de resultados possíveis. Cada lançamento tem 2 resultados, com 4 lançamentos o total de sequências possíveis é
2^4=16.
Explicação rápida: para formar uma sequência de 4 tosses escolhemos uma opção entre 2 em cada uma das 4 posições, então multiplicamos 2\cdot2\cdot2\cdot2.

Passo 4

Calcular o número de sequências com exatamente 3 caras. Isso é um problema de combinações: entre as 4 posições, escolhemos quais 3 serão caras. O número de maneiras de escolher k posições entre n é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui n=4 e k=3.

Passo 5

Aplicando a fórmula do binômio:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)\cdot1}=4.
Interpretação: há exatamente 4 sequências diferentes com 3 caras (por exemplo, C C C R, C C R C, C R C C, R C C C — estou usando C = cara e R = coroa).

Passo 6

Agora a probabilidade de exatamente 3 caras é
\frac{\text{favoráveis}}{\text{possíveis}}=\frac{4}{16}.áí

Passo 7

Simplificando a fração:
\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25.

Resposta

\dfrac{1}{4}=0,25

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