Um mol de um gás diatômico ideal inicialmente em um volume de 101 e uma temperatura de 300 K é aquecido a volume constante até uma temperatura de 600 K , expandido isotermicamente até sua pressão inicial e finalmente comprimido isobaricamente até o volume, pressão e temperatura iniciais.
Qual é o rendimento desse ciclo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um mol de um gás diatômico ideal começando com um volume de 101 (vamos assumir que seja litros) e temperatura de 300 K. Esse gás passa por três processos:
  1. Aquecimento a volume constante até 600 K.
  2. Expansão isotérmica (temperatura constante) até a pressão inicial.
  3. Compressão isobárica (pressão constante) de volta aos valores iniciais de volume, pressão e temperatura.
Queremos descobrir o rendimento desse ciclo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ciclos termodinâmicos, leis dos gases ideais, e fórmulas de trabalho e calor em processos termodinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os estados do gás em cada ponto do ciclo:
  • Estado A: $ V_A = 101 , L $, $ T_A = 300 , K $
  • Estado B: após aquecimento a volume constante até $ T_B = 600 , K $
  • Estado C: após expansão isotérmica até a pressão inicial $ P_A $
  • Estado A: de volta ao estado inicial após compressão isobárica
Vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que é $ PV = nRT $, onde $ P $ é pressão, $ V $ é volume, $ n $ é número de mols, $ R $ é a constante dos gases ideais (≈ 0.0821 L·atm/(mol·K)), e $ T $ é temperatura.

Passo 3

Processo A → B: Aquecimento a Volume Constante
Como o volume é constante, o trabalho realizado ($ W $) nesse processo é zero, já que $ W = P \Delta V $ e $ \Delta V = 0 $.
Para encontrar a pressão no estado B ($ P_B $), usamos a Lei dos Gases Ideais:
W
W = P De
Dividindo as duas equações:
De
PB
Então, $ P_B = 2P_A $.
O calor absorvido nesse processo ($ Q_{AB} $) pode ser calculado usando $ Q = nC_V \Delta T $. Para um gás diatômico, $ C_V = \frac{5}{2}R $.
PA VA = nRTA

Passo 4

Processo B → C: Expansão Isotérmica
Nesse processo, a temperatura permanece constante em $ T_B = 600 , K TB = 600 , K ééã \Delta U = 0 $), então todo o trabalho realizado é igual ao calor trocado: $ W = Q $.
Queremos que a pressão retorne a $ P_A $, então:
De
W = Q
Como $ V_C $ é o volume final após a expansão:
PA
O trabalho realizado na expansão isotérmica é:
PB VB = nRTB
Como $ W = Q $, então $ Q_{BC} = 600R \ln(2) $.

Passo 5

Processo C → A: Compressão Isobárica
Agora, a pressão permanece constante em $ P_A $. Vamos voltar ao volume inicial $ V_A = 101 , L $ e temperatura $ T_A = 300 , K $.
O trabalho realizado na compressão isobárica é:
PA
O calor trocado nesse processo ($ Q_{CA} $) pode ser calculado usando $ Q = nC_p \Delta T $. Para um gás diatômico, $ C_p = \frac{7}{2}R $.
VA = 101 , L
TA = 300 , K

Passo 6

Calculando o Trabalho e o Calor Totais
Vamos somar os trabalhos e os calores de todo o ciclo:
  • Trabalho Total ($ W_{total} $):
    Wtotal
  • Calor Total ($ Q_{total} $):
    Wtotal = WAB + WBC + WCA = 0 + 600R ln(2) - 101PA
    Qtotal
    Qtotal = QAB + QBC + QCA = 52R times 300 + 600R ln(2) - 72R times 300
    Qtotal = (52 times 300 - 72 times 300)R + 600R ln(2)

Passo 7

Calculando o Rendimento ($ \eta $)
O rendimento de um ciclo térmico é dado por:
eta
Onde $ Q_{in} $ é o calor absorvido pelo sistema. Observando os calores:
  • $ Q_{AB} $ e $ Q_{BC} $ são positivos (absorção de calor).
  • $ Q_{CA} $ é negativo (liberação de calor).
Então, $ Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{5}{2}R \times 300 + 600R \ln(2) $
eta = WtotalQin
Agora, substituindo $ W_{total} $ e $ Q_{in} $:
Qin
Para simplificar, precisamos relacionar $ P_A $ com os outros termos usando a Lei dos Gases Ideais no estado A:
QAB
QBC
QCA
Substituindo $ P_A $ na expressão do $ \eta $:
Qin = QAB + QBC = 52R times 300 + 600R ln(2)
Qin = 15002R + 600R ln(2) = 750R + 600R ln(2)
Wtotal
Qin

Passo 8

Calculando os Valores Numéricos
Vamos calcular o valor numérico usando $ \ln(2) \approx 0.693 $:
ln(2) approx 0.693
eta = 600 times 0.693 - 300750 + 600 times 0.693
eta = 415.8 - 300750 + 415.8
eta = 115.81165.8
Convertendo para porcentagem:
eta approx 0.0994

Resposta

O rendimento desse ciclo é aproximadamente 9,94%.

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