Um mol de um gás diatômico ideal inicialmente em um volume de 101 e uma temperatura de 300 K é aquecido a volume constante até uma temperatura de 600 K , expandido isotermicamente até sua pressão inicial e finalmente comprimido isobaricamente até o volume, pressão e temperatura iniciais.
Qual o trabalho líquido realizado pelo gás durante um ciclo?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um mol de um gás diatômico ideal que passa por um ciclo de três etapas:
  1. Aquecimento a volume constante: O gás é aquecido de 300 K para 600 K sem mudar seu volume.
  2. Expansão isotérmica: O gás se expande mantendo a temperatura constante até que sua pressão volte ao valor inicial.
  3. Compressão isobárica: O gás é comprimido mantendo a pressão constante até retornar ao volume, pressão e temperatura iniciais.
Queremos calcular o trabalho líquido realizado pelo gás durante todo esse ciclo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como a Lei dos Gases Ideais e as fórmulas para trabalho em processos isocóricos, isotérmicos e isobáricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os estados do gás em cada etapa do ciclo:
  • Estado A (inicial): $ V_A = 101 , L $, $ T_A = 300 , K $, $ n = 1 , mol $
  • Estado B: Após o aquecimento a volume constante, $ T_B = 600 , K $, $ V_B = V_A = 101 , L $
  • Estado C: Após a expansão isotérmica, a pressão retorna ao valor inicial, $ P_C = P_A $, e precisamos encontrar o novo volume $ V_C $
  • Estado D: Após a compressão isobárica, retorna ao estado inicial $ (V_D = V_A, P_D = P_A, T_D = T_A) $

Passo 3

Vamos utilizar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ V $ é o volume
  • $ n $ é o número de mols
  • $ R = 8,314 , J/mol·K $ é a constante dos gases
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin
Vamos calcular a pressão inicial $ P_A $ usando o estado A:
P
Substituindo os valores:
V
n

Passo 4

Etapa 1: Aquecimento a Volume Constante (A → B)
Neste processo, o volume não muda ($ V_B = V_A $), portanto, o trabalho realizado pelo gás é:
VB = VA
Porque trabalho em um processo de volume constante é zero, já que não há deslocamento do volume.
Teoria Aplicada:
Em processos a volume constante, não há expansão ou compressão do gás, então não há trabalho realizado ($ W = P \Delta V = 0 $).

Passo 5

Etapa 2: Expansão Isotérmica (B → C)
Aqui, a temperatura permanece constante ($ T_B = T_C = 600 , K $), e o gás se expande até que a pressão volte a $ P_A $.
Primeiro, vamos encontrar o volume $ V_C $ no estado C usando a Lei dos Gases Ideais:
TB = TC = 600 , K
PA
VC
PA VA = nRTC
(Dado que 1 L = 0,001 m³)
Agora, calculamos o trabalho realizado na expansão isotérmica:
VC = nRTCPA
VC = 1 times 8,314 times 60024,7 times 10^3 , L (convertendo kPa para Pa)
VC approx 4988,424700 approx 0,202 , m^3 (convertendo L para m^3)
Teoria Aplicada:
Em processos isotérmicos, o trabalho realizado pela expansão ou compressão é dado por $ W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) $, onde $ V_f $ e $ V_i $ são os volumes final e inicial.

Passo 6

Etapa 3: Compressão Isobárica (C → A)
Neste processo, a pressão é constante ($ P_A $), e o gás é comprimido de $ V_C $ de volta a $ V_A $.
O trabalho realizado na compressão isobárica é:
PA
VC
VA
(O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás)
Teoria Aplicada:
Em processos isobáricos, o trabalho é calculado por $ W = P \Delta V $, onde $ \Delta V $ é a variação de volume.

Passo 7

Agora, vamos somar todos os trabalhos realizados nas três etapas para encontrar o trabalho líquido durante o ciclo:
Wlíquido = WA B + WB C + WC A í
Wlíquido = 0 + 3457 - 2494,7 approx 962,3 , J í

Resposta

O trabalho líquido realizado pelo gás durante o ciclo é de aproximadamente 962 J.

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