Um mol de um gás ideal com C. 1,5R, está no estado inicial de 300 K e 1 atm . Para cada transformação a seguir, calcule q, w, dU, dH, dS e dG.
O gás expande-se isotermicamente contra uma pressão zero até que a pressão do gás atinja o valor de
.
O gás expande-se isotermicamente contra uma pressão zero até que a pressão do gás atinja o valor de
Passo 1
Enunciado e dados (o que foi dado e o que se pede).
- Foi dado: um mol do gás ideal (
) com calor específico molar a volume constante . - Estado inicial: temperatura
e pressão . - Transformação: expansão isotérmica (temperatura constante) contra uma pressão externa nula (
) até que a pressão do gás atinja . - O enunciado pede: calcular
, , , , e para essa transformação.
Observações imediatas extraídas do enunciado:
- A transformação é isotérmica, então
. - Como
e para um gás ideal isotérmico, a razão de volumes será (isto será usado). - Foi dado
; portanto (se precisar).
Passo 2
Definir convenções e equações fundamentais que vamos usar (e explicar cada símbolo).
-
Convenção de energia (primeira lei):
, onde -
é a variação da energia interna do sistema (J), -
é o calor trocado com o sistema (J) — positivo se entra no sistema, -
é o trabalho realizado sobre o sistema (J) — positivo se feito sobre o sistema.
(Essa é a convenção habitual em química; se preferir a outra convenção, basta notar que sinais mudam, mas aqui usaremos essa.)
-
-
Trabalho de expansão contra pressão externa constante:Explicação:
é a pressão que resiste à expansão; se então o integrando é zero e . -
Para gás ideal, energia interna depende apenas da temperatura:Como a transformação é isotérmica,
então . Variáveis: mols, capacidade molar a volume constante, . -
Para gás ideal, entalpia também depende apenas da temperatura:onde
. Novamente, para temos . -
Variação de entropia do sistema entre dois estados (função de estado): usar um caminho reversível isotérmico para calcularPara um gás ideal isotérmico isso dáporque
e é constante. Aqui é a constante dos gases ideais. -
Variação de energia livre de Gibbs a temperatura constante:Como
para gás ideal isotérmico, . -
Constante dos gases: para cálculos numéricos em J, usamos
.
Passo 3
Determinar a relação entre volumes inicial e final (razão de volumes).
- Pelo gás ideal isotérmico:
. Logo - Substituindo
e : - Conclusão: o volume dobra (
).
Passo 4
Calcular o trabalho
.
- Fórmula para trabalho com pressão externa constante:
- Aqui
, então - Interpretação física: expansão livre (contra vácuo) não realiza trabalho porque não há resistência externa; embora o gás tenha aumentado de volume, não foi feito trabalho sobre o ambiente.
Passo 5
Calcular
,
e
.
-
Como a transformação é isotérmica,
. Então, usando as fórmulas: Explicação: energia interna do gás ideal depende só de, então sem variação de não há mudança interna. -
Pela primeira lei
. Já sabemos e , logo Interpretação: não houve troca de calor com o ambiente neste processo irreversível de expansão livre.
Passo 6
Calcular a variação de entropia
.
- Mesmo sendo o processo irreversível, entropia é função de estado, então pode-se calcular
considerando um caminho reversível (por exemplo, uma expansão isotérmica reversível entre os mesmos estados). - Usar:
- Substituindo
e : - Agora o valor numérico com
: - Sinal: positivo, o que faz sentido físico (expansão livre aumenta a entropia do sistema).
Passo 7
Calcular
.
-
Usar
. Como : -
Numérico:(mais corretamente
, arredondando para três algarismos significativos ). -
Interpretação:
é negativo porque a entropia do sistema aumentou a temperatura constante, então a parte é negativa; embora não haja troca de calor, a disponibilidade de energia livre diminui.
Passo 8
Resumo físico e checagem da segunda lei.
-
Resultados obtidos:
-
: sem troca de calor com o ambiente. -
: sem trabalho realizado (expansão contra pressão nula). -
e : pois . -
: entropia do sistema aumenta. -
.
-
-
Entropia do universo nessa transformação:
. Como , a vizinhança não recebe calor reversível e , então , consistente com irreversibilidade.