Um mol de um gás ideal é submetido a uma expansão através de dois processos distintos. Sabendo - se que seu volume final foi triplicado, determine o trabalho realizado pelo gás quando o processo for (a) isotérmico e (b) adiabático. (c) Qual a quantidade calor trocado pelo gás com a vizinhanças nos dois casos? (d) Qual a variação da energia interna do gás nos dois casos?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um mol do gás ideal: n=1.
  • Processo de expansão cujo volume final é o triplo do inicial: V_f = 3V_i.
    As perguntas são:
    (a) determinar o trabalho realizado pelo gás quando o processo for isotérmico;
    (b) determinar o trabalho realizado pelo gás quando o processo for adiabático;
    (c) determinar a quantidade de calor trocada com as vizinhanças nos dois casos;
    (d) determinar a variação da energia interna do gás nos dois casos.
Informações relevantes que iremos usar (fornecidas pelo enunciado ou propriedades do gás ideal):
  • Lei dos gases ideais: P V = n R T.
  • Para o processo isotérmico, a temperatura fica constante: T=T_i=T_f.
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal: P V^{\gamma}=\text{constante}, onde \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}.
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção usada aqui): \Delta U = Q - W, sendo W o trabalho realizado pelo gás (positivo quando o gás realiza trabalho).

Passo 2

Vamos tratar o caso (a) — expansão isotérmica — e relembrar a fórmula do trabalho num processo isotérmico reversível.
A ideia: trabalho é a integral do P\,dV. Para um gás ideal, durante uma isoterm a T constante, podemos substituir P por nRT/V na integral:
W_{\text{iso}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{n R T}{V}\,dV.
Essa integral é direta porque \dfrac{1}{V} tem primitiva \ln V. Calculando:
W_{\text{iso}} = n R T \left[\ln V\right]_{V_i}^{V_f} = n R T \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Note que aqui T é a temperatura constante do processo (podemos chamá-la de T_i). Como no enunciado n=1 e V_f=3V_i, substituímos:
W_{\text{iso}} = (1)\,R\,T_i \ln 3 = R T_i \ln 3.
Também é útil escrever em termos de P_i e V_i: usando P_i V_i = n R T_i,
W_{\text{iso}} = P_i V_i \ln 3.

Passo 3

Agora (a) — calor trocado e variação de energia interna na isotérmica.
Para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura. Numa isoterm a a temperatura não muda, logo:
\Delta U_{\text{iso}} = 0.
Pela primeira lei \Delta U = Q - W, obtemos o calor trocado:
Q_{\text{iso}} = \Delta U_{\text{iso}} + W_{\text{iso}} = 0 + W_{\text{iso}} = W_{\text{iso}}.
Portanto o gás absorve calor igual ao trabalho que realiza: Q_{\text{iso}} = R T_i \ln 3.

Passo 4

Passamos ao caso (b) — expansão adiabática reversível. Vamos recordar as relações úteis.
Para adiabática reversível de um gás ideal temos:
P V^{\gamma} = \text{constante} \qquad\text{e}\qquad T V^{\gamma-1} = \text{constante}.
Da segunda relação segue:
T_f = T_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
Com V_f = 3V_i isso dá
T_f = T_i \,3^{-(\gamma-1)}.

Passo 5

Derivar o trabalho para a adiabática. O trabalho é
W_{\text{ad}} = \int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Usamos P = \text{const}\cdot V^{-\gamma}. Se P V^{\gamma}=P_i V_i^{\gamma}, então P = P_i V_i^{\gamma} V^{-\gamma}. Integrando:
W_{\text{ad}} = P_i V_i^{\gamma} \int_{V_i}^{V_f} V^{-\gamma}\,dV.
A primitiva de V^{-\gamma} é \dfrac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma} (válido porque \gamma\neq1). Assim:
W_{\text{ad}} = \frac{P_i V_i^{\gamma}}{1-\gamma}\left[ V^{1-\gamma} \right]_{V_i}^{V_f} = \frac{P_i V_i^{\gamma}}{1-\gamma}\left( V_f^{1-\gamma} - V_i^{1-\gamma}\right).
Fatorando V_i^{1-\gamma}:
W_{\text{ad}} = \frac{P_i V_i^{\gamma}}{1-\gamma} V_i^{1-\gamma}\left( \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{1-\gamma} - 1\right).
Como P_i V_i^{\gamma} V_i^{1-\gamma} = P_i V_i, obtemos a forma prática:
W_{\text{ad}} = \frac{P_i V_i}{1-\gamma}\left( \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{1-\gamma} - 1\right).
Troque o sinal no denominador para escrever de forma mais comum:
W_{\text{ad}} = \frac{P_i V_i}{\gamma-1}\left(1 - \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{1-\gamma}\right).

Passo 6

Aplicando V_f=3V_i e usando P_i V_i = n R T_i com n=1, simplificamos:
\left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{1-\gamma} = 3^{1-\gamma} = 3^{-(\gamma-1)}.
Portanto uma forma conveniente do trabalho adiabático é
W_{\text{ad}} = \frac{P_i V_i}{\gamma-1}\left(1 - 3^{1-\gamma}\right) = \frac{n R T_i}{\gamma-1}\left(1 - 3^{-(\gamma-1)}\right).
Com n=1 fica
W_{\text{ad}} = \frac{R T_i}{\gamma-1}\left(1 - 3^{-(\gamma-1)}\right).

Passo 7

Agora (c) e (d) para o adiabático: calor trocado e variação de energia interna.
Por definição de processo adiabático reversível: não há troca de calor com vizinhanças (assumindo adiabático ideal), então
Q_{\text{ad}} = 0.
A variação da energia interna de um gás ideal é dada por
\Delta U = n C_V (T_f - T_i).
Usando T_f = T_i\,3^{-(\gamma-1)} e n=1:
\Delta U_{\text{ad}} = C_V \,T_i\left(3^{-(\gamma-1)} - 1\right).
Também podemos relacionar \Delta U_{\text{ad}} ao trabalho: pela primeira lei \Delta U = Q - W e Q_{\text{ad}}=0, então
\Delta U_{\text{ad}} = - W_{\text{ad}}.
Isso é consistente com a expressão em termos de T porque W_{\text{ad}} = C_V (T_i - T_f).

Passo 8

Resumo das fórmulas finais úteis (lembrando n=1 e V_f=3V_i):
  • Trabalho isotérmico:
W_{\text{iso}} = R T_i \ln 3 = P_i V_i \ln 3.
  • Calor isotérmico:
Q_{\text{iso}} = W_{\text{iso}} = R T_i \ln 3.
  • Variação de energia interna isotérmica:
\Delta U_{\text{iso}} = 0.
  • Trabalho adiabático:
W_{\text{ad}} = \frac{R T_i}{\gamma-1}\left(1 - 3^{-(\gamma-1)}\right) = \frac{P_i V_i}{\gamma-1}\left(1 - 3^{1-\gamma}\right).
  • Calor adiabático:
Q_{\text{ad}} = 0.
  • Variação de energia interna adiabática:
\Delta U_{\text{ad}} = C_V T_i\left(3^{-(\gamma-1)} - 1\right) = -W_{\text{ad}}.
Observação prática: se o gás for monoatômico ideal, então \gamma = \tfrac{5}{3} e C_V = \tfrac{3}{2}R; nesses números pode-se obter um valor numérico relativo em função de R T_i (por exemplo, W_{\text{ad}} = \dfrac{R T_i}{2/3}\big(1-3^{-2/3}\big)=\tfrac{3}{2}R T_i\big(1-3^{-2/3}\big)), mas o enunciado não especificou o tipo de gás, então as respostas gerais em termos de \gamma e C_V são as corretas.

Resposta

(a) W_{\text{iso}} = R T_i \ln 3 = P_i V_i \ln 3.
(b) W_{\text{ad}} = \dfrac{R T_i}{\gamma-1}\!\left(1 - 3^{-(\gamma-1)}\right) = \dfrac{P_i V_i}{\gamma-1}\!\left(1 - 3^{1-\gamma}\right).
(c) Q_{\text{iso}} = R T_i \ln 3;\qquad Q_{\text{ad}} = 0.
(d) \Delta U_{\text{iso}} = 0;\qquad \Delta U_{\text{ad}} = C_V T_i\!\left(3^{-(\gamma-1)} - 1\right) = -W_{\text{ad}}.

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