Um mol de um gás ideal é submetido a uma expansão através de dois processos distintos. Sabendo - se que seu volume final foi triplicado, determine o trabalho realizado pelo gás quando o processo for (a) isotérmico e (b) adiabático. (c) Qual a quantidade calor trocado pelo gás com a vizinhanças nos dois casos? (d) Qual a variação da energia interna do gás nos dois casos?
Passo 1
O enunciado dá:
- Um mol do gás ideal:
. - Processo de expansão cujo volume final é o triplo do inicial:
.
As perguntas são:
(a) determinar o trabalho realizado pelo gás quando o processo for isotérmico;
(b) determinar o trabalho realizado pelo gás quando o processo for adiabático;
(c) determinar a quantidade de calor trocada com as vizinhanças nos dois casos;
(d) determinar a variação da energia interna do gás nos dois casos.
Informações relevantes que iremos usar (fornecidas pelo enunciado ou propriedades do gás ideal):
- Lei dos gases ideais:
- Para o processo isotérmico, a temperatura fica constante:
. - Para um processo adiabático reversível de gás ideal:
onde . - Primeira lei da termodinâmica (convenção usada aqui):
sendo o trabalho realizado pelo gás (positivo quando o gás realiza trabalho).
Passo 2
Vamos tratar o caso (a) — expansão isotérmica — e relembrar a fórmula do trabalho num processo isotérmico reversível.
A ideia: trabalho é a integral do
. Para um gás ideal, durante uma isoterm a
constante, podemos substituir
por
na integral:
Essa integral é direta porque
tem primitiva
. Calculando:
Note que aqui
é a temperatura constante do processo (podemos chamá-la de
). Como no enunciado
e
, substituímos:
Também é útil escrever em termos de
e
: usando
,
Passo 3
Agora (a) — calor trocado e variação de energia interna na isotérmica.
Para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura. Numa isoterm a a temperatura não muda, logo:
Pela primeira lei
, obtemos o calor trocado:
Portanto o gás absorve calor igual ao trabalho que realiza:
.
Passo 4
Passamos ao caso (b) — expansão adiabática reversível. Vamos recordar as relações úteis.
Para adiabática reversível de um gás ideal temos:
Da segunda relação segue:
Com
isso dá
Passo 5
Derivar o trabalho para a adiabática. O trabalho é
Usamos
. Se
, então
. Integrando:
A primitiva de
é
(válido porque
). Assim:
Fatorando
:
Como
, obtemos a forma prática:
Troque o sinal no denominador para escrever de forma mais comum:
Passo 6
Aplicando
e usando
com
, simplificamos:
Portanto uma forma conveniente do trabalho adiabático é
Com
fica
Passo 7
Agora (c) e (d) para o adiabático: calor trocado e variação de energia interna.
Por definição de processo adiabático reversível: não há troca de calor com vizinhanças (assumindo adiabático ideal), então
A variação da energia interna de um gás ideal é dada por
Usando
e
:
Também podemos relacionar
ao trabalho: pela primeira lei
e
, então
Isso é consistente com a expressão em termos de
porque
.
Passo 8
Resumo das fórmulas finais úteis (lembrando
e
):
- Trabalho isotérmico:
- Calor isotérmico:
- Variação de energia interna isotérmica:
- Trabalho adiabático:
- Calor adiabático:
- Variação de energia interna adiabática:
Observação prática: se o gás for monoatômico ideal, então
e
; nesses números pode-se obter um valor numérico relativo em função de
(por exemplo,
), mas o enunciado não especificou o tipo de gás, então as respostas gerais em termos de
e
são as corretas.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)