Úma mola de 4 cm de comprimento passa a medir 8 cm após um peso de 0.5 kg ser atado a ela. O meio no qual o peso se move oferece uma resistência numericamente igual a \sqrt{2} vezes a velocidade instantânea. Encontre a equação do movimento se o peso for solto na posição de equilibrio com uma velocidade inicial nula em relação à posicão para baixo. Encontre o instante em que o peso atinge seu deslocamento extremo.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido. Temos uma massa m=0,5,kg que, ao ser pendurada, estica a mola de 4 cm (comprimento natural) para 8 cm, ou seja, extensão estática
\Delta = 8\text{ cm} - 4\text{ cm} = 4\text{ cm} = 0,04\text{ m}.
A resistência do meio vale numericamente c=\sqrt{2} vezes a velocidade. Vamos medir x(t) a partir da posição de equilíbrio estático (extensão de 0,04 m), tomando para baixo x>0. Na posição de “equilíbrio natural” (comprimento sem peso) x(0) = -0,04 m, e a velocidade inicial é nula.

Passo 2

Calculamos a constante da mola a partir de mg=k\,\Delta:
k=\frac{m\,g}{\Delta}=\frac{0{,}5\cdot9{,}8}{0{,}04}=122{,}5\text{ N/m}.
A equação de movimento amortecido é
m\,x''(t)+c\,x'(t)+k\,x(t)=0
ou, dividindo por m=0{,}5,
x''(t)+\underbrace{\frac{\sqrt2}{0.5}}_{2\sqrt2\,}x'(t)+\underbrace{\frac{122{,}5}{0.5}}_{245\,}x(t)=0,
isto é
x''+2\sqrt2\,x'+245\,x=0.

Passo 3

A equação característica é
r^2+2\sqrt2\,r+245=0
com raízes
r=-\sqrt2\pm i\sqrt{245-(\sqrt2)^2}=-\sqrt2\pm i\sqrt{243}.
Logo a solução geral é
x(t)=e^{-\sqrt2\,t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{243}\,t)+C_2\sin(\sqrt{243}\,t)\bigr).

Passo 4

Impondo as condições iniciais x(0)=-0{,}04 m e x'(0)=0, temos
C_1=-0{,}04,
e diferenciando e usando x'(0)=0 obtemos
C_2=\frac{\sqrt2\,C_1}{\sqrt{243}} =-\frac{0{,}04\,\sqrt2}{\sqrt{243}}.
Portanto
x(t) =-0{,}04\,e^{-\sqrt2\,t} \Bigl[ \cos\bigl(\sqrt{243}\,t\bigr) +\frac{\sqrt2}{\sqrt{243}}\, \sin\bigl(\sqrt{243}\,t\bigr) \Bigr].

Passo 5

Os instantes de deslocamento extremo ocorrem quando x'(t)=0. Pode-se mostrar que isso dá
\sqrt{243}\,t=n\pi \quad\Longrightarrow\quad t_n=\frac{n\pi}{\sqrt{243}},\quad n=0,1,2,\dots
No lançamento t=0 já é um extremo. O primeiro instante não nulo é
t_1=\frac{\pi}{\sqrt{243}} \approx0{,}2017\text{ s}.

Resposta

A equação do movimento é
x(t) =-0{,}04\,e^{-\sqrt2\,t} \Bigl[\cos\bigl(\sqrt{243}\,t\bigr) +\tfrac{\sqrt2}{\sqrt{243}}\, \sin\bigl(\sqrt{243}\,t\bigr)\Bigr] \quad(\text{m})
e o primeiro instante de deslocamento extremo (após t=0) é
t=\frac{\pi}{\sqrt{243}}\approx0{,}2017\text{ s}.

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