Calcule:
c) \int \frac{4}{16+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{4}{16+x^{2}}\,dx.
Este é um caso clássico de função racional que leva à fórmula da tangente inversa, pois sabemos que
\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Fatoramos a constante 4 para fora da integral:
\int \frac{4}{16+x^{2}}\,dx = 4 \int \frac{1}{16+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Na forma \int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}, temos aqui a^{2}=16, logo a=4. Aplicando a fórmula:
\int \frac{dx}{16+x^{2}} = \frac{1}{4}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à nossa integral com o fator 4:
4 \int \frac{1}{16+x^{2}}\,dx = 4 \cdot \frac{1}{4}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) + C = \arctan\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{4}{16+x^{2}}\,dx = \arctan\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) + C.

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