Calcule:
b) \int\left(\frac{6}{x+2}+\frac{4}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\Bigl(\frac{6}{x+2}+\frac{4}{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de funções do tipo \frac{1}{x+a}, cuja antiderivada é
\int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln\lvert x+a\rvert + C.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas parcelas usando a linearidade:
\int\Bigl(\frac{6}{x+2}+\frac{4}{x}\Bigr)\,dx = \int \frac{6}{x+2}\,dx \;+\; \int \frac{4}{x}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parcela temos
\int \frac{6}{x+2}\,dx = 6 \int \frac{1}{x+2}\,dx = 6\,\ln\lvert x+2\rvert.

Passo 4

Para a segunda parcela temos
\int \frac{4}{x}\,dx = 4 \int \frac{1}{x}\,dx = 4\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
6\,\ln\lvert x+2\rvert \;+\; 4\,\ln\lvert x\rvert \;+\; C.

Resposta

\int\Bigl(\frac{6}{x+2}+\frac{4}{x}\Bigr)\,dx = 6\,\ln\lvert x+2\rvert + 4\,\ln\lvert x\rvert + C.

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