Para três semicondutores distintos obteve-se os dados listados na tabela abaixo:
Semicondutor Temperatura (K) Condutividade Elétrica ( \Omega^{-1} \mathrm{~m}^{-1} )
A: Intrínseco 293 3 \times 10^{-4}
473 160
B: Extrínseco (tipo-n) 100 200
200 1500
C: Extrínseco (tipo-p) 100 100
200 900
Determine: c) A energia do nível aceitador no semicondutor C .

Passo 1

O enunciado dá os dados do semicondutor C (extrínseco do tipo-p) nas duas temperaturas:
T_1 = 100\\ \mathrm{K},\qquad \sigma_1 = 100\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1},
T_2 = 200\\ \mathrm{K},\qquad \sigma_2 = 900\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}.
A pergunta (c) pede: determinar a energia do nível aceitador em C. Aqui vamos assumir que os valores informados estão no regime de ionização do dopante (regime onde a condutividade cresce exponencialmente com a temperatura por ativação térmica dos portadores ligados aos níveis de aceitador). Não vou pedir mais informações — vou usar a hipótese padrão de prova: a variação exponencial domina a dependência com T.

Passo 2

Breve explicação física e modelo adotado (passo-a-passo didático):
  • A condutividade elétrica de um semicondutor extrínseco do tipo-p pode ser escrita informalmente como
\sigma = q\,p\,\mu_p,
onde \sigma é a condutividade, q é a carga do elétron, p é a concentração de lacunas ionizadas e \mu_p é a mobilidade das lacunas.
  • No regime de ionização (freeze-out / ativação do dopante), a concentração de portadores liberados a partir dos níveis aceitadores cresce com a temperatura seguindo uma dependência exponencial do tipo Boltzmann:
p \propto \exp\!\big(-\tfrac{E_A}{k_B T}\big),
onde E_A é a energia de ionização do aceitador medida a partir do topo da banda de valência (ou a energia que precisa ser fornecida para liberar uma lacuna), e k_B é a constante de Boltzmann.
  • Se a mobilidade \mu_p varia mais lentamente com a temperatura do que o fator exponencial (hipótese usual em questões de prova quando se usa dois pontos separados), então a dependência dominante de \sigma com T é a exponencial. Assim podemos modelar aproximadamente
\sigma(T) \propto \exp\!\big(-\tfrac{E_A}{k_B T}\big).
Essa hipótese é a mais simples e costuma ser exigida em exercícios curtos de prova; se a mobilidade fosse incluída explicitamente teríamos um fator extra em potência de T, o que complica e não é necessário aqui.

Passo 3

Relação entre as condutividades em duas temperaturas (dedução algébrica):
  • Tomando a razão entre \sigma_2 e \sigma_1 e usando o modelo exponencial, obtemos
\frac{\sigma_2}{\sigma_1} = \exp\!\Big(-\frac{E_A}{k_B T_2}\Big)\Big/\exp\!\Big(-\frac{E_A}{k_B T_1}\Big) = \exp\!\Big(\frac{E_A}{k_B}\big(\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}\big)\Big).
  • Aplicando logaritmo natural,
\ln\!\Big(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\Big) = \frac{E_A}{k_B}\Big(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Big).
  • Isolando E_A,
E_A = k_B\; \ln\!\Big(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\Big)\; \Big(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Big)^{-1}.

Passo 4

Substituir os dados numéricos na expressão (mostrar as contas passo a passo):
  • Primeiro a razão das condutividades:
\frac{\sigma_2}{\sigma_1}=\frac{900}{100}=9.
  • Logaritmo natural:
\ln(9)\approx 2{,}197224577.
  • Diferença dos inversos das temperaturas:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{100}-\frac{1}{200}=\frac{2-1}{200}=\frac{1}{200}=0{,}005\\ \mathrm{K}^{-1}.
  • Constante de Boltzmann em \mathrm{eV/K}:
k_B = 8{,}617\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • Agora a combinação numérica antes de simplificar:
E_A = \big(8{,}617\times 10^{-5}\big)\times 2{,}197224577 \times \frac{1}{0{,}005}.

Passo 5

Cálculo numérico final (mostrando as operações):
  • Produto de k_B por \ln(9):
8{,}617\times 10^{-5}\times 2{,}197224577 \approx 1{,}89264\times 10^{-4}\\ \mathrm{eV/K}.
  • Dividindo por 0{,}005\\ \mathrm{K}^{-1} (equivalente a multiplicar por 200):
E_A \approx 1{,}89264\times 10^{-4}\times 200 \approx 0{,}03785\\ \mathrm{eV}.
  • Em unidades mais usuais para níveis de dopante, isso é aproximadamente 37{,}9\\ \mathrm{meV}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo:
  • O resultado indica que o aceitador em C é um nível bem raso, com energia de ionização da ordem de algumas dezenas de meV — típico de dopantes pouco profundos em semicondutores.
  • Boa! Você conseguiu: a partir de duas medidas de condutividade e da hipótese usual de ativação térmica obtemos E_A. Confia no procedimento na prova: descreva a hipótese explicando que a dependência exponencial domina para que a banca aprove.

Resposta

E_A \approx 0,0379\\ \mathrm{eV} (aproximadamente 37{,}9\\ \mathrm{meV}).

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