Para três semicondutores distintos obteve-se os dados listados na tabela abaixo:
Semicondutor
Temperatura (K)
Condutividade Elétrica (
)
A: Intrínseco
293
473
160
B: Extrínseco (tipo-n)
100
200
200
1500
C: Extrínseco (tipo-p)
100
100
200
900
Determine: c) A energia do nível aceitador no semicondutor C .
| Semicondutor | Temperatura (K) | Condutividade Elétrica (
|
| A: Intrínseco | 293 |
|
| 473 | 160 | |
| B: Extrínseco (tipo-n) | 100 | 200 |
| 200 | 1500 | |
| C: Extrínseco (tipo-p) | 100 | 100 |
| 200 | 900 |
Passo 1
O enunciado dá os dados do semicondutor
(extrínseco do tipo-p) nas duas temperaturas:
A pergunta (c) pede: determinar a energia do nível aceitador em
. Aqui vamos assumir que os valores informados estão no regime de ionização do dopante (regime onde a condutividade cresce exponencialmente com a temperatura por ativação térmica dos portadores ligados aos níveis de aceitador). Não vou pedir mais informações — vou usar a hipótese padrão de prova: a variação exponencial domina a dependência com
.
Passo 2
Breve explicação física e modelo adotado (passo-a-passo didático):
- A condutividade elétrica de um semicondutor extrínseco do tipo-p pode ser escrita informalmente como
onde
é a condutividade,
é a carga do elétron,
é a concentração de lacunas ionizadas e
é a mobilidade das lacunas.
- No regime de ionização (freeze-out / ativação do dopante), a concentração de portadores liberados a partir dos níveis aceitadores cresce com a temperatura seguindo uma dependência exponencial do tipo Boltzmann:
onde
é a energia de ionização do aceitador medida a partir do topo da banda de valência (ou a energia que precisa ser fornecida para liberar uma lacuna), e
é a constante de Boltzmann.
- Se a mobilidade
varia mais lentamente com a temperatura do que o fator exponencial (hipótese usual em questões de prova quando se usa dois pontos separados), então a dependência dominante de com é a exponencial. Assim podemos modelar aproximadamente
Essa hipótese é a mais simples e costuma ser exigida em exercícios curtos de prova; se a mobilidade fosse incluída explicitamente teríamos um fator extra em potência de
, o que complica e não é necessário aqui.
Passo 3
Relação entre as condutividades em duas temperaturas (dedução algébrica):
- Tomando a razão entre
e e usando o modelo exponencial, obtemos
- Aplicando logaritmo natural,
- Isolando
,
Passo 4
Substituir os dados numéricos na expressão (mostrar as contas passo a passo):
- Primeiro a razão das condutividades:
- Logaritmo natural:
- Diferença dos inversos das temperaturas:
- Constante de Boltzmann em
:
- Agora a combinação numérica antes de simplificar:
Passo 5
Cálculo numérico final (mostrando as operações):
- Produto de
por :
- Dividindo por
(equivalente a multiplicar por ):
- Em unidades mais usuais para níveis de dopante, isso é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo:
- O resultado indica que o aceitador em
é um nível bem raso, com energia de ionização da ordem de algumas dezenas de meV — típico de dopantes pouco profundos em semicondutores. - Boa! Você conseguiu: a partir de duas medidas de condutividade e da hipótese usual de ativação térmica obtemos
. Confia no procedimento na prova: descreva a hipótese explicando que a dependência exponencial domina para que a banca aprove.