Uma mola quando comprimida de 0.1 m reage com uma força de 847 N . Nesta mola, está presa, em uma das extremidades, uma massa de 70kg. Este sistema é colocado para oscilar a partir da posição de equilíbrio com elongação de 1,5m. Calcule
a. Período e frequência deste oscilador
b. Amplitude máxima
c. omega e phi
d. Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração
e. Em quais instantes a velocidade é nula?
f. Determine os pontos para a velocidade máxima e mínima
g. Em qual situação a aceleração é nula?
h. Determine os pontos de máximos e mínimos da aceleração
i. Determine as relações de Amplitude e Fase iniciais em função de v0 e x0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mola comprimida que está ligada a uma massa e fazendo o sistema oscilar. Vamos trabalhar com movimento harmônico simples (MHS), que é um tipo de oscilação bastante comum na física. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar fórmulas relacionadas ao período, frequência, amplitude, velocidade e aceleração de um oscilador harmônico.

Passo 2

a. Período e frequência deste oscilador
Primeiro, vamos encontrar o período (T) e a frequência (f) do oscilador. O período é o tempo que leva para completar uma oscilação, e a frequência é quantas oscilações acontecem por segundo.
Para isso, precisamos da constante elástica da mola (k), que podemos encontrar usando a Lei de Hooke:
F = k cdot x
Onde:
  • $ F = 847 , N $
  • $ x = 0,1 , m $
Resolvendo para k:
F = 847 , N
Agora, usamos a fórmula do período para um MHS:
x = 0,1 , m
Onde:
  • $ m = 70 , kg $
  • $ k = 8470 , N/m $
Calculando T:
k = Fx = 8470,1 = 8470 , N/m
T = 2pi raizmk
m = 70 , kg
k = 8470 , N/m
A frequência é o inverso do período:
T = 2pi raiz708470

Passo 3

b. Amplitude máxima
A amplitude máxima ( A) é a maior distância que a massa atinge a partir da posição de equilíbrio. No enunciado, a elongação inicial é de 1,5 m, o que significa que essa é a amplitude máxima do movimento.
A = 1,5 , m

Passo 4

c. omega e phi
Aqui, precisamos encontrar a frequência angular ( omega) e a fase inicial ( phi).
A frequência angular está relacionada ao período pela fórmula:
omega = 2piT
Já calculamos T approx 0,571 , s, então:
omega = 2pi0,571 approx 10,99 , rad/s
Para a fase inicial ( phi), precisamos considerar as condições iniciais. Como a massa é puxada para além da posição de equilíbrio e solta a partir do repouso, isso indica que a fase inicial é zero.
phi = 0

Passo 5

d. Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração
As equações para o movimento harmônico simples são:
  • Posição ( x(t)):
x(t) = A cos(omega t + phi)
Substituindo os valores:
x(t) = 1,5 cos(10,99 , t)
  • Velocidade ( v(t)):
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
v(t) = -1,5 times 10,99 sin(10,99 , t)
v(t) approx -16,485 sin(10,99 , t) , m/s
  • Aceleração ( a(t)):
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi)
a(t) = -1,5 times (10,99)^2 cos(10,99 , t)
a(t) approx -1,5 times 120,78 cos(10,99 , t)
a(t) approx -181,17 cos(10,99 , t) , m/s^2

Passo 6

e. Em quais instantes a velocidade é nula?
A velocidade é nula quando $ v(t) = 0 $:
v(t) = 0
-16,485 sin(10,99 , t) = 0
Isso acontece quando:
sin(10,99 , t) = 0
10,99 , t = npi
Onde $ n $ é um número inteiro (0, 1, 2, …).

Passo 7

f. Determine os pontos para a velocidade máxima e mínima
A velocidade máxima e mínima ocorrem nos pontos onde $ \sin(10,99 , t) = \pm 1 $:
  • Velocidade Máxima: $ v_{max} = 16,485 , m/s $ quando $ \sin(10,99 , t) = -1 $
  • Velocidade Mínima: $ v_{min} = -16,485 , m/s $ quando $ \sin(10,99 , t) = 1 $
Esses pontos acontecem quando:
sin(10,99 , t) = pm 1
vmax = 16,485 , m/s

Passo 8

g. Em qual situação a aceleração é nula?
A aceleração é nula quando $ a(t) = 0 $:
a(t) = 0
-181,17 cos(10,99 , t) = 0
Isso ocorre quando:
cos(10,99 , t) = 0
10,99 , t = pi2 + npi
Onde $ n $ é um número inteiro.

Passo 9

h. Determine os pontos de máximos e mínimos da aceleração
Os máximos e mínimos da aceleração ocorrem quando $ \cos(10,99 , t) = \pm 1 $:
  • Aceleração Máxima: $ a_{max} = -181,17 , m/s^2 $ quando $ \cos(10,99 , t) = 1 $
  • Aceleração Mínima: $ a_{min} = 181,17 , m/s^2 $ quando $ \cos(10,99 , t) = -1 $
Esses pontos acontecem quando:
cos(10,99 , t) = pm 1
amax = -181,17 , m/s^2
para máximos, e
cos(10,99 , t) = 1
amin = 181,17 , m/s^2
para mínimos, onde $ n $ é um número inteiro.

Passo 10

i. Determine as relações de Amplitude e Fase iniciais em função de $ v_{0} $ e $ x_{0} $
Para relacionar a amplitude ($ A v0 \phi x0 v_{0} A çã x_{0} $), usamos as condições iniciais nas equações de posição e velocidade.
As equações são:
phi
v0
Dividindo a segunda equação pela primeira:
x0
x(0) = A cos(phi) = x0
v(0) = -A omega sin(phi) = v0
Para encontrar a amplitude $ A $, podemos usar a energia do sistema ou combinar as duas equações:
v0x0 = -omega tan(phi)
tan(phi) = -v0omega x0
Elevando ambos os lados ao quadrado e somando:
phi = arctan(-v0omega x0)
A
Então, as relações são:
x0 = A cos(phi)
v0 = -A omega sin(phi)

Resposta

Resolvidos os itens de a a i, conforme os passos acima.

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