Uma mola quando comprimida de 0.1 m reage com uma força de 847 N . Nesta mola, está presa, em uma das extremidades, uma massa de 70kg. Este sistema é colocado para oscilar a partir da posição de equilíbrio com elongação de 1,5m. Calcule
a. Período e frequência deste oscilador
b. Amplitude máxima
c.
e
d. Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração
e. Em quais instantes a velocidade é nula?
f. Determine os pontos para a velocidade máxima e mínima
g. Em qual situação a aceleração é nula?
h. Determine os pontos de máximos e mínimos da aceleração
i. Determine as relações de Amplitude e Fase iniciais em função de
e
a. Período e frequência deste oscilador
b. Amplitude máxima
c.
d. Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração
e. Em quais instantes a velocidade é nula?
f. Determine os pontos para a velocidade máxima e mínima
g. Em qual situação a aceleração é nula?
h. Determine os pontos de máximos e mínimos da aceleração
i. Determine as relações de Amplitude e Fase iniciais em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mola comprimida que está ligada a uma massa e fazendo o sistema oscilar. Vamos trabalhar com movimento harmônico simples (MHS), que é um tipo de oscilação bastante comum na física. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar fórmulas relacionadas ao período, frequência, amplitude, velocidade e aceleração de um oscilador harmônico.
Passo 2
a. Período e frequência deste oscilador
Primeiro, vamos encontrar o período (T) e a frequência (f) do oscilador. O período é o tempo que leva para completar uma oscilação, e a frequência é quantas oscilações acontecem por segundo.
Para isso, precisamos da constante elástica da mola (k), que podemos encontrar usando a Lei de Hooke:
Onde:
- $ F = 847 , N $
- $ x = 0,1 , m $
Resolvendo para k:
Agora, usamos a fórmula do período para um MHS:
Onde:
- $ m = 70 , kg $
- $ k = 8470 , N/m $
Calculando T:
A frequência é o inverso do período:
Passo 3
b. Amplitude máxima
A amplitude máxima (
) é a maior distância que a massa atinge a partir da posição de equilíbrio. No enunciado, a elongação inicial é de 1,5 m, o que significa que essa é a amplitude máxima do movimento.
Passo 4
c.
e
Aqui, precisamos encontrar a frequência angular (
) e a fase inicial (
).
A frequência angular está relacionada ao período pela fórmula:
Já calculamos
, então:
Para a fase inicial (
), precisamos considerar as condições iniciais. Como a massa é puxada para além da posição de equilíbrio e solta a partir do repouso, isso indica que a fase inicial é zero.
Passo 5
d. Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração
As equações para o movimento harmônico simples são:
- Posição (
):
Substituindo os valores:
- Velocidade (
):
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
- Aceleração (
):
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Passo 6
e. Em quais instantes a velocidade é nula?
A velocidade é nula quando $ v(t) = 0 $:
Isso acontece quando:
Onde $ n $ é um número inteiro (0, 1, 2, …).
Passo 7
f. Determine os pontos para a velocidade máxima e mínima
A velocidade máxima e mínima ocorrem nos pontos onde $ \sin(10,99 , t) = \pm 1 $:
- Velocidade Máxima: $ v_{max} = 16,485 , m/s $ quando $ \sin(10,99 , t) = -1 $
- Velocidade Mínima: $ v_{min} = -16,485 , m/s $ quando $ \sin(10,99 , t) = 1 $
Esses pontos acontecem quando:
Passo 8
g. Em qual situação a aceleração é nula?
A aceleração é nula quando $ a(t) = 0 $:
Isso ocorre quando:
Onde $ n $ é um número inteiro.
Passo 9
h. Determine os pontos de máximos e mínimos da aceleração
Os máximos e mínimos da aceleração ocorrem quando $ \cos(10,99 , t) = \pm 1 $:
- Aceleração Máxima: $ a_{max} = -181,17 , m/s^2 $ quando $ \cos(10,99 , t) = 1 $
- Aceleração Mínima: $ a_{min} = 181,17 , m/s^2 $ quando $ \cos(10,99 , t) = -1 $
Esses pontos acontecem quando:
para máximos, e
para mínimos, onde $ n $ é um número inteiro.
Passo 10
i. Determine as relações de Amplitude e Fase iniciais em função de $ v_{0} $ e $ x_{0} $
Para relacionar a amplitude ($ A
\phi
v_{0}
x_{0} $), usamos as condições iniciais nas equações de posição e velocidade.
As equações são:
Dividindo a segunda equação pela primeira:
Para encontrar a amplitude $ A $, podemos usar a energia do sistema ou combinar as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado e somando:
Então, as relações são:
Resposta
Resolvidos os itens de a a i, conforme os passos acima.