A posição
de um objeto é dada pela equação
, onde
refere-se ao tempo e
refere-se a velocidade. (a) Quais são as dimensões de
e
? (b) Quais são as unidades SI para
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve a posição de um objeto: $ x = A v^{2} - B t^{3} $. Aqui, $ t $ é o tempo e $ v $ é a velocidade. O que a gente precisa descobrir é quais são as dimensões de $ A $ e $ B $ e também quais são as unidades do Sistema Internacional (SI) para esses valores. Para resolver isso, vamos usar análise dimensional, que ajuda a garantir que as equações físicas façam sentido em termos de unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada termo na equação. A posição $ x $ tem dimensão de comprimento, que representamos como
. A velocidade $ v $ tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja,
. O tempo $ t $ tem dimensão
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo do lado direito da equação para garantir que todas as partes tenham a mesma dimensão que $ x $.
O primeiro termo é $ A v^{2} $. A dimensão de $ v^{2} $ é
porque elevamos $ v $ ao quadrado:
Para que $ A v^{2} $ tenha a mesma dimensão que $ x $
, $ A $ precisa “anular” as dimensões extras de $ v^{2} $. Então,
Passo 4
O segundo termo é $ B t^{3} $. A dimensão de $ t^{3} $ é
. Para que $ B t^{3} $ também tenha dimensão de
, $ B $ deve ajustar as dimensões de $ t^{3} $ para que o resultado final seja
:
Passo 5
Agora que temos as dimensões de $ A $ e $ B $, vamos para as unidades no Sistema Internacional.
Sabemos que:
- A dimensão de comprimento
corresponde ao metro (m). - A dimensão de tempo
corresponde ao segundo (s).
Passo 6
Para $ A $, cuja dimensão é
, as unidades serão:
Para $ B $, cuja dimensão é
, as unidades serão:
Resposta
(a) As dimensões de $ A $ são
e as dimensões de $ B $ são
.
(b) As unidades SI de $ A $ são metros por segundo ao quadrado (
) e as unidades SI de $ B $ são metros por segundo ao cubo (
).