A posição x de um objeto é dada pela equação x=A v^2-B t^3, onde t refere-se ao tempo e v refere-se a velocidade. (a) Quais são as dimensões de A e B ? (b) Quais são as unidades SI para A e B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve a posição de um objeto: $ x = A v^{2} - B t^{3} $. Aqui, $ t $ é o tempo e $ v $ é a velocidade. O que a gente precisa descobrir é quais são as dimensões de $ A $ e $ B $ e também quais são as unidades do Sistema Internacional (SI) para esses valores. Para resolver isso, vamos usar análise dimensional, que ajuda a garantir que as equações físicas façam sentido em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo na equação. A posição $ x $ tem dimensão de comprimento, que representamos como x . A velocidade $ v $ tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja, [L]. O tempo $ t $ tem dimensão v .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo do lado direito da equação para garantir que todas as partes tenham a mesma dimensão que $ x $.
O primeiro termo é $ A v^{2} $. A dimensão de $ v^{2} $ é x porque elevamos $ v $ ao quadrado:
A v^2
Para que $ A v^{2} $ tenha a mesma dimensão que $ x $ v^2 , $ A $ precisa “anular” as dimensões extras de $ v^{2} $. Então,
[L^2 T^-2]

Passo 4

O segundo termo é $ B t^{3} $. A dimensão de $ t^{3} $ é B t^3 . Para que $ B t^{3} $ também tenha dimensão de t^3 , $ B $ deve ajustar as dimensões de $ t^{3} $ para que o resultado final seja [T^3]:
B t^3

Passo 5

Agora que temos as dimensões de $ A $ e $ B $, vamos para as unidades no Sistema Internacional.
Sabemos que:
  • A dimensão de comprimento A corresponde ao metro (m).
  • A dimensão de tempo B corresponde ao segundo (s).

Passo 6

Para $ A $, cuja dimensão é A , as unidades serão:
[L^-1 T^2]
Para $ B $, cuja dimensão é [A] = metrossegundos^2 = ms^2 , as unidades serão:
B

Resposta

(a) As dimensões de $ A $ são A e as dimensões de $ B $ são [L^-1 T^2].
(b) As unidades SI de $ A $ são metros por segundo ao quadrado ( B ) e as unidades SI de $ B $ são metros por segundo ao cubo ( [L T^-3]).

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