A mola de uma pistola de mola tem uma constante elástica de 500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Comprime-se 5 cm a mola e contra ela coloca-se uma bola de 0,1 \mathrm{~kg}. (a) Calcular a velocidade máxima adquirida pela bola. (b)
Determinar a velocidade máxima se uma força resistiva constante de 10 N atua sobre a bola.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
  • constante elástica da mola: k=500\\ \mathrm{N/m}.
  • compressão inicial da mola: x=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • massa da bola: m=0,1\\ \mathrm{kg}.
  • no item (b) há uma força resistiva constante: F_{\text{res}}=10\\ \mathrm{N}.
O que se pede:
  • (a) Calcular a velocidade máxima v adquirida pela bola ao ser libertada da mola (assumir que não há outras forças dissipativas neste caso).
  • (b) Calcular a velocidade máxima v se, além da mola, atua uma força resistiva constante de 10\\ \mathrm{N} durante a expansão da mola.
Observação sobre o movimento implícito: a bola parte comprimindo a mola e, quando a mola retorna à sua posição natural, a energia armazenada transforma-se em energia cinética. No item (b) parte desta energia é gasta vencendo a força resistiva.

Passo 2

Entender e usar a energia elástica da mola e a energia cinética.
Breve aula: energia potencial elástica de uma mola ideal
  • A mola armazena energia quando é comprimida ou esticada. A fórmula para a energia potencial elástica é
U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde k é a constante elástica ( \mathrm{N/m}) e x é a deformação ( \mathrm{m}).
  • Energia cinética de uma massa em movimento é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2},
onde m é a massa ( \mathrm{kg}) e v a velocidade ( \mathrm{m/s}).
No caso sem resistência (item a), se não há perdas, a energia que estava na mola passa inteiramente para a bola:
\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Aqui todas as variáveis já definidas: k, x, m, e v é a incógnita que queremos.

Passo 3

Resolver algebricamente para v e calcular numericamente (item a).
Tirar o fator \tfrac{1}{2} e isolar v:
k x^{2}=m v^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v^{2}=\frac{k x^{2}}{m}\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{k x^{2}}{m}}.
Substituir os valores numéricos:
  • calcular k x^{2}:
k x^{2}=500\cdot(0,05)^{2}=500\cdot0,0025=1,25\\ \mathrm{J}.
  • dividir por m:
\frac{k x^{2}}{m}=\frac{1,25}{0,1}=12,5\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
  • portanto
v=\sqrt{12,5}\approx3,5355339\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
v\approx3,54\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: a energia armazenada na mola era \tfrac{1}{2}k x^{2}=0,625\\ \mathrm{J} (veja observação na alternativa de cálculo seguinte), e isso resulta na velocidade calculada. (Nota: se calcular diretamente por U=\tfrac{1}{2}kx^{2} obtém-se U=0,625\\ \mathrm{J}, e então \tfrac{1}{2}mv^{2}=0,625 leva ao mesmo resultado.)

Passo 4

Tratar o caso com força resistiva constante (item b): usar o Teorema do Trabalho e Energia.
Breve aula: trabalho de uma força constante e Teorema do Trabalho-Energia
  • Trabalho realizado por uma força constante F que age ao longo de um deslocamento retilíneo d na mesma direção é
W=F\cdot d.
Se a força é oposta ao movimento (força resistiva), este trabalho é negativo — energia é retirada do sistema.
  • Teorema do Trabalho-Energia: a variação da energia mecânica (energia cinética) é igual ao trabalho das forças não conservativas. Aqui, colocando energia inicial da mola como fonte e contabilizando o trabalho da força resistiva, temos:
\tfrac{1}{2}k x^{2}+W_{\text{não cons}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.ã
Neste problema a única força não conservativa é a força resistiva F_{\text{res}}, cujo trabalho (negativo) ao longo do deslocamento x é W_{\text{res}}=-F_{\text{res}}\,x. Assim:
\tfrac{1}{2}k x^{2}-F_{\text{res}}\,x=\tfrac{1}{2}m v^{2}.

Passo 5

Calcular numericamente para o caso com resistência.
Substituir valores:
  • energia inicial da mola:
\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot500\cdot(0,05)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot500\cdot0,0025=0,625\\ \mathrm{J}.
  • trabalho da força resistiva (módulo):
F_{\text{res}}\,x=10\cdot0,05=0,5\\ \mathrm{J}.
  • energia cinética final:
\tfrac{1}{2}m v^{2}=0,625-0,5=0,125\\ \mathrm{J}.
  • isolar v:
v^{2}=\frac{2\cdot0,125}{0,1}=\frac{0,25}{0,1}=2,5, \qquad v=\sqrt{2,5}\approx1,5811388\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para duas casas decimais:
v\approx1,58\\ \mathrm{m/s}.
Observação física: se F_{\text{res}}\,x\ge\tfrac{1}{2}k x^{2} então toda a energia da mola seria gasta vencendo a resistência e a bola não adquiria velocidade final (ficaria parada ou com velocidade zero ao sair da mola).

Resposta

(a) v\approx3,54\\ \mathrm{m/s}
(b) v\approx1,58\\ \mathrm{m/s}

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