Dois blocos A e B de mesma massa (
\mathrm{m}=2 \mathrm{~kg} )
, movem-se sobre uma superfície horizontal e sofrem uma colisão elástica. Inicialmente o bloco A se desloca para a direita com velocidade de módulo igual a
2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e o bloco B para a esquerda com velocidade de módulo igual a
4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
. Determine a variação de momento linear do bloco A e do bloco B.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as variações de momento linear de cada bloco.
  • Massa do bloco A: m_A = 2\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bloco B: m_B = 2\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bloco A: módulo 2\\ \mathrm{m/s} para a direita. Adotando a convenção: direita positiva, então v_{A,i} = +2\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade inicial do bloco B: módulo 4\\ \mathrm{m/s} para a esquerda. Com a mesma convenção, v_{B,i} = -4\\ \mathrm{m/s}.
  • A colisão é elástica e unidimensional (sobre a mesma linha).
O que é pedido:
  • A variação do momento linear do bloco A: \Delta p_A = p_{A,f}-p_{A,i}.
  • A variação do momento linear do bloco B: \Delta p_B = p_{B,f}-p_{B,i}.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Momento linear (quantidade de movimento) de um corpo é p = m v, onde m é a massa e v a velocidade (com sinal). A variação de momento é \Delta p = p_f - p_i = m v_f - m v_i.
  • Em colisões elásticas unidimensionais conservam-se duas grandezas importantes:
    1. Momento linear total: m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f}.
    2. Energia cinética total: \tfrac{1}{2}m_A v_{A,i}^2 + \tfrac{1}{2}m_B v_{B,i}^2 = \tfrac{1}{2}m_A v_{A,f}^2 + \tfrac{1}{2}m_B v_{B,f}^2.
  • Para o caso especial em que as massas são iguais ( m_A = m_B), há um resultado muito prático e que facilita os cálculos: em uma colisão elástica frontal unidimensional as velocidades se trocam. Ou seja,
    v_{A,f} = v_{B,i},\qquad v_{B,f} = v_{A,i}.
    Vou mostrar rapidamente por que isso vale: com m_A=m_B=m, a conservação de momento dá
    v_{A,i}+v_{B,i}=v_{A,f}+v_{B,f}.
    A conservação da energia cinética (dividida por m/2) dá
    v_{A,i}^2+v_{B,i}^2=v_{A,f}^2+v_{B,f}^2.
    Subtraindo a primeira equação multiplicada por v_{A,i}+v_{B,i} da segunda (ou usando fatorização de soma e diferença de quadrados) obtém-se
    (v_{A,i}-v_{B,i}) = -(v_{A,f}-v_{B,f}).
    Resolvendo o sistema linear formado pelas duas equações conclui-se que v_{A,f}=v_{B,i} e v_{B,f}=v_{A,i}. Intuitivamente: para massas iguais numa colisão frontal perfeitamente elástica, elas trocam velocidades.

Passo 3

Aplicando o resultado ao problema com os sinais definidos.
  • Velocidades iniciais (já definidas): v_{A,i}=+2\\ \mathrm{m/s}, v_{B,i}=-4\\ \mathrm{m/s}.
  • Como as massas são iguais, as velocidades se trocam:
    v_{A,f} = v_{B,i} = -4\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{B,f} = v_{A,i} = +2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular os momentos iniciais e finais de cada bloco e depois as variações.
Para o bloco A:
  • Momento inicial: p_{A,i} = m_A v_{A,i} = 2\cdot(+2)=4\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento final: p_{A,f} = m_A v_{A,f} = 2\cdot(-4)=-8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Variação: \Delta p_A = p_{A,f}-p_{A,i} = -8 - 4 = -12\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Para o bloco B:
  • Momento inicial: p_{B,i} = m_B v_{B,i} = 2\cdot(-4)=-8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento final: p_{B,f} = m_B v_{B,f} = 2\cdot(+2)=4\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Variação: \Delta p_B = p_{B,f}-p_{B,i} = 4 - (-8) = 12\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • Observa-se que \Delta p_A = -12\\ \mathrm{kg\cdot m/s} e \Delta p_B = +12\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, ou seja, as variações são opostas, como deve acontecer por ação e reação (o impulso que A recebe de B é igual e oposto ao que B recebe de A).
  • Checagem da conservação do momento total: momento total inicial =4+(-8)=-4\\ \mathrm{kg\cdot m/s}; momento total final -8+4=-4\\ \mathrm{kg\cdot m/s}. Conferido.

Resposta

\Delta p_A = -12\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
\Delta p_B = +12\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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