Determine a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
(b) y^{\prime \prime}+3 y=-48 x^{2} e^{3 x}
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação linear não homogênea (parte (b)). A equação dada é
y''+3y=-48x^{2}e^{3x}.
Informações relevantes fornecidas:
É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo não homogêneo (forçamento) é -48x^{2}e^{3x}, que é um polinômio em x multiplicado por e^{3x}.
A tarefa é encontrar a solução geral y(x) que contém a solução geral da equação homogênea e uma solução particular adequada para reproduzir o lado direito.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y''+3y=0.
Usamos o método padrão: escrever o polinômio característico. Seja r uma raiz do tipo exponencial; então
r^{2}+3=0.
As raízes são
r=\pm i\sqrt{3}.
Para raízes complexas conjugadas \pm i\omega a solução geral homogênea é combinação linear de cosseno e seno com frequência \omega. Assim
Comentário didático curto: quando a equação homogênea tem coeficientes constantes e o polinômio característico tem raízes a\pm ib, a solução homogênea é e^{ax}\bigl(K_{1}\cos(bx)+K_{2}\sin(bx)\bigr). No nosso caso a=0 e b=\sqrt{3}.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular y_{p}(x) para a equação completa. Observações para escolher o ansatz (chute):
O lado direito é -48x^{2}e^{3x}, ou seja, e^{3x} multiplicando um polinômio de grau 2.
Pela regra do método dos coeficientes indeterminados, tentamos
y_{p}(x)=e^{3x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr),
onde A,B,C são constantes a determinar.
Antes de adotar esse chute verificamos se e^{3x} é solução da homogênea (se 3 fosse raiz do característico). O característico tem raízes \pm i\sqrt{3}, que não são 3; logo não há necessidade de multiplicar o ansatz por potências adicionais de x. Portanto o ansatz acima é apropriado.
Didática sobre o porquê: quando o termo for P(x)e^{\alpha x} com P polinomial, tenta-se e^{\alpha x}Q(x) onde \deg Q=\deg P, a menos que \alpha seja raiz do característico; aí multiplica-se por x^{m} sendo m a multiplicidade.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_{p}. Começando por escrever
Substituímos y_{p}\) e \(y_{p}''\) na equação \(y''+3y\) para obter a condição de igualdade com o lado direito.
Calculamos
\[y_{p}''+3y_{p}=e^{3x}\Bigl(9A x^{2}+(12A+9B)x+(2A+6B+9C)\Bigr)+3e^{3x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr).