1. Determine a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas:
(b) y^{\prime \prime}+3 y=-48 x^{2} e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação linear não homogênea (parte (b)). A equação dada é
y''+3y=-48x^{2}e^{3x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é -48x^{2}e^{3x}, que é um polinômio em x multiplicado por e^{3x}.
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x) que contém a solução geral da equação homogênea e uma solução particular adequada para reproduzir o lado direito.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y''+3y=0.
Usamos o método padrão: escrever o polinômio característico. Seja r uma raiz do tipo exponencial; então
r^{2}+3=0.
As raízes são
r=\pm i\sqrt{3}.
Para raízes complexas conjugadas \pm i\omega a solução geral homogênea é combinação linear de cosseno e seno com frequência \omega. Assim
y_{h}(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Comentário didático curto: quando a equação homogênea tem coeficientes constantes e o polinômio característico tem raízes a\pm ib, a solução homogênea é e^{ax}\bigl(K_{1}\cos(bx)+K_{2}\sin(bx)\bigr). No nosso caso a=0 e b=\sqrt{3}.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p}(x) para a equação completa. Observações para escolher o ansatz (chute):
  • O lado direito é -48x^{2}e^{3x}, ou seja, e^{3x} multiplicando um polinômio de grau 2.
  • Pela regra do método dos coeficientes indeterminados, tentamos
y_{p}(x)=e^{3x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr),
onde A,B,C são constantes a determinar.
  • Antes de adotar esse chute verificamos se e^{3x} é solução da homogênea (se 3 fosse raiz do característico). O característico tem raízes \pm i\sqrt{3}, que não são 3; logo não há necessidade de multiplicar o ansatz por potências adicionais de x. Portanto o ansatz acima é apropriado.
Didática sobre o porquê: quando o termo for P(x)e^{\alpha x} com P polinomial, tenta-se e^{\alpha x}Q(x) onde \deg Q=\deg P, a menos que \alpha seja raiz do característico; aí multiplica-se por x^{m} sendo m a multiplicidade.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}. Começando por escrever
y_{p}(x)=e^{3x}p(x),\qquad p(x)=Ax^{2}+Bx+C.
Derivando:
y_{p}'=e^{3x}\bigl(3p(x)+p'(x)\bigr).
Aqui p'(x)=2Ax+B. Substituindo:
y_{p}'=e^{3x}\bigl(3(Ax^{2}+Bx+C)+2Ax+B\bigr).
Simplificando os termos:
y_{p}'=e^{3x}\bigl(3A x^{2}+(3B+2A)x+(3C+B)\bigr).
Derivando novamente:
y_{p}''=e^{3x}\bigl(3\cdot[3A x^{2}+(3B+2A)x+(3C+B)]+(6A x+(3B+2A))\bigr).
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro multiplicando por 3:
3\cdot[3A x^{2}+(3B+2A)x+(3C+B)]=9A x^{2}+(9B+6A)x+(9C+3B).
Somando a derivada interna:
9A x^{2}+(9B+6A)x+(9C+3B)+6A x+(3B+2A)=9A x^{2}+(9B+12A)x+(9C+6B+2A).
Portanto
y_{p}''=e^{3x}\bigl(9A x^{2}+(12A+9B)x+(2A+6B+9C)\bigr).

Passo 5

Substituímos y_{p}\) e \(y_{p}''\) na equação \(y''+3y\) para obter a condição de igualdade com o lado direito. Calculamos \[y_{p}''+3y_{p}=e^{3x}\Bigl(9A x^{2}+(12A+9B)x+(2A+6B+9C)\Bigr)+3e^{3x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr).
Agrupando termos semelhantes dentro do colchete:
y_{p}''+3y_{p}=e^{3x}\Bigl((9A+3A)x^{2}+(12A+9B+3B)x+(2A+6B+9C+3C)\Bigr).
Simplificando coeficientes:
y_{p}''+3y_{p}=e^{3x}\Bigl(12A x^{2}+(12A+12B)x+(2A+6B+12C)\Bigr).
Essa expressão deve ser igual ao lado direito
-48x^{2}e^{3x}.
Logo, igualando coeficientes do polinômio multiplicando e^{3x}, obtemos o sistema
\begin{cases} 12A=-48,\\[4pt] 12A+12B=0,\\[4pt] 2A+6B+12C=0. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da primeira equação 12A=-48\] segue \(A=-4.
  • Substituindo na segunda: 12(-4)+12B=0 -48+12B=0 B=4.
  • Substituindo A e B na terceira: 2(-4)+6(4)+12C=0 -8+24+12C=0 16+12C=0 12C=-16 C=-\dfrac{4}{3}.]

Passo 6

Assim a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=e^{3x}\Bigl(-4x^{2}+4x-\tfrac{4}{3}\Bigr).
Podemos fatorar -4 se quisermos:
y_{p}(x)=-4e^{3x}\Bigl(x^{2}-x+\tfrac{1}{3}\Bigr).
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo as partes obtidas,
y(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+e^{3x}\Bigl(-4x^{2}+4x-\tfrac{4}{3}\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+e^{3x}\Bigl(-4x^{2}+4x-\tfrac{4}{3}\Bigr)

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