- Determine a solução geral das EDOs abaixo.
(f)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da EDO
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é de ordem
. - Os coeficientes são potências de
que acompanham cada derivada: e termo independente. - Deve-se obter a solução geral (quatro constantes arbitrárias).
Observação: a equação não está definida em, portanto a solução será dada para (normalmente tomamos para usar de forma direta).
Passo 2
Estratégia escolhida (motivo didático): quando os coeficientes das derivadas em uma EDO são potências de
em que a potência acompanha exatamente a ordem da derivada (como
), a equação é do tipo Euler–Cauchy. Nesses casos a tentativa padrão é buscar soluções da forma
onde
é um número (possivelmente complexo). Isso funciona porque as derivadas de
são simples potências de
multiplicadas por polinômios em
, e todos os termos passam a ter a mesma potência
, permitindo obter um polinômio característico em
.
Vou explicar a técnica: se
então
Substituindo esses em uma equação Euler, todos os termos ficam proporcionais a
, e obtemos uma equação polinomial para
(polinômio característico). As raízes desse polinômio dão as soluções
, e quando aparecem raízes complexas ou múltiplas, usa-se combinações reais envolvendo
e
de
e fatores de
para multiplicidade.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e substituir na EDO.
As derivadas (já mostradas) são
e
.
Substituindo em
cada termo fica com fator
. Dividindo por
(válido para
) obtemos o polinômio característico em
:
Passo 4
Simplificar o polinômio característico passo a passo.
Primeiro fatoramos
nos dois primeiros termos:
Isto é
Agora expandimos
. Calculemos
. Multiplicando por
:
Então o polinômio completo fica
Portanto o polinômio característico é
Reconhecemos que isto é um quadrado perfeito:
Logo as raízes são dadas por
cada uma com multiplicidade
(pois fator quadrado).
Passo 5
Converter as raízes complexas repetidas em soluções reais da EDO.
Quando surgem raízes complexas conjugadas
de multiplicidade
para uma equação Euler–Cauchy, as soluções reais correspondentes são, para
,
No nosso caso temos
e
(porque
), e a multiplicidade é
. Assim as quatro soluções independentes reais são
Breve justificativa (intuição):
. A multiplicidade
introduz o fator adicional
nas soluções independentes, análogo ao caso de raízes múltiplas em polinômios ordinários.
Passo 6
Escrever a solução geral como combinação linear das quatro soluções independentes.
Portanto, a solução geral da EDO é, para
(domínio onde
é real),
onde
são constantes reais arbitrárias.