1. Determine a solução geral das EDOs abaixo.
(f) x^{4} y^{(4)}+6 x^{3} y^{\prime \prime \prime}+9 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da EDO
x^{4}y^{(4)}+6x^{3}y^{\prime\prime\prime}+9x^{2}y^{\prime\prime}+3x y^{\prime}+y=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é de ordem 4.
  • Os coeficientes são potências de x que acompanham cada derivada: x^{4},x^{3},x^{2},x e termo independente.
  • Deve-se obter a solução geral (quatro constantes arbitrárias).
    Observação: a equação não está definida em x=0, portanto a solução será dada para x\neq0 (normalmente tomamos x>0 para usar \ln x de forma direta).

Passo 2

Estratégia escolhida (motivo didático): quando os coeficientes das derivadas em uma EDO são potências de x em que a potência acompanha exatamente a ordem da derivada (como x^{n} y^{(n)}), a equação é do tipo Euler–Cauchy. Nesses casos a tentativa padrão é buscar soluções da forma
y=x^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo). Isso funciona porque as derivadas de x^{r} são simples potências de x multiplicadas por polinômios em r, e todos os termos passam a ter a mesma potência x^{r}, permitindo obter um polinômio característico em r.
Vou explicar a técnica: se y=x^{r} então
y'=r x^{r-1},\quad y''=r(r-1)x^{r-2},\quad y'''=r(r-1)(r-2)x^{r-3},
y^{(4)}=r(r-1)(r-2)(r-3)x^{r-4}.
Substituindo esses em uma equação Euler, todos os termos ficam proporcionais a x^{r}, e obtemos uma equação polinomial para r (polinômio característico). As raízes desse polinômio dão as soluções x^{r}, e quando aparecem raízes complexas ou múltiplas, usa-se combinações reais envolvendo \cos e \sin de \ln x e fatores de \ln x para multiplicidade.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{r} e substituir na EDO.
As derivadas (já mostradas) são
y^{(4)}=r(r-1)(r-2)(r-3)x^{r-4},
y^{\prime\prime\prime}=r(r-1)(r-2)x^{r-3},
y^{\prime\prime}=r(r-1)x^{r-2},
y^{\prime}=r x^{r-1},
e y=x^{r}.
Substituindo em
x^{4}y^{(4)}+6x^{3}y^{\prime\prime\prime}+9x^{2}y^{\prime\prime}+3x y^{\prime}+y=0,
cada termo fica com fator x^{r}. Dividindo por x^{r} (válido para x\neq0) obtemos o polinômio característico em r:
r(r-1)(r-2)(r-3)+6\,r(r-1)(r-2)+9\,r(r-1)+3r+1=0.

Passo 4

Simplificar o polinômio característico passo a passo.
Primeiro fatoramos r(r-1)(r-2) nos dois primeiros termos:
r(r-1)(r-2)\big[(r-3)+6\big]+9r(r-1)+3r+1=0.
Isto é
r(r-1)(r-2)(r+3)+9r(r-1)+3r+1=0.
Agora expandimos r(r-1)(r-2)(r+3). Calculemos r(r-1)(r-2)=r^{3}-3r^{2}+2r. Multiplicando por (r+3):
r(r-1)(r-2)(r+3)=\big(r^{3}-3r^{2}+2r\big)(r+3)=r^{4}-7r^{2}+6r.
Então o polinômio completo fica
r^{4}-7r^{2}+6r +9r^{2}-9r +3r +1 = r^{4}+2r^{2}+1.
Portanto o polinômio característico é
r^{4}+2r^{2}+1=0.
Reconhecemos que isto é um quadrado perfeito:
r^{4}+2r^{2}+1=(r^{2}+1)^{2}.
Logo as raízes são dadas por
r^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm i,
cada uma com multiplicidade 2 (pois fator quadrado).

Passo 5

Converter as raízes complexas repetidas em soluções reais da EDO.
Quando surgem raízes complexas conjugadas r=a\pm i b de multiplicidade m para uma equação Euler–Cauchy, as soluções reais correspondentes são, para k=0,1,\dots,m-1,
x^{a}(\ln x)^{k}\cos(b\ln x),\qquad x^{a}(\ln x)^{k}\sin(b\ln x).
No nosso caso temos a=0 e b=1 (porque r=\pm i), e a multiplicidade é m=2. Assim as quatro soluções independentes reais são
\cos(\ln x),\quad \sin(\ln x),\quad \ln x\cos(\ln x),\quad \ln x\sin(\ln x).
Breve justificativa (intuição): x^{i}=e^{i\ln x}=\cos(\ln x)+i\sin(\ln x). A multiplicidade 2 introduz o fator adicional \ln x nas soluções independentes, análogo ao caso de raízes múltiplas em polinômios ordinários.

Passo 6

Escrever a solução geral como combinação linear das quatro soluções independentes.
Portanto, a solução geral da EDO é, para x>0 (domínio onde \ln x é real),
y(x)=C_{1}\cos(\ln x)+C_{2}\sin(\ln x)+C_{3}\ln x\cos(\ln x)+C_{4}\ln x\sin(\ln x),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(\ln x)+C_{2}\sin(\ln x)+C_{3}\ln x\cos(\ln x)+C_{4}\ln x\sin(\ln x)

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