Uma mola está suspensa verticalmente em seu estado relaxado. Um bloco de massa \mathrm{m}=6,80 \mathrm{~kg} está preso à mola, mas inicialmente o bloco é sustentado de modo que a mola não fique distendida. Em seguida, a mão que sustenta o bloco é abaixada lentamente, de forma que o bloco desce com velocidade constante até atingir a posição em que permanece em equilíbrio após a mão ser retirada. Nesse ponto, observa-se que a mola se distendeu uma distância \mathrm{d}=0,132 \mathrm{~m} em relação ao seu comprimento relaxado inicial.
Determine o trabalho realizado sobre o bloco durante esse processo:
pela força exercida pela mão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que se pede. Peguei da figura que o bloco parte com a mola no comprimento relaxado, essa posição é indicada como \,y=0. Os dados são:
  • massa do bloco: m=6,80\\ \mathrm{kg}.
  • alongamento final (quando o bloco fica em equilíbrio): d=0,132\\ \mathrm{m}.
    O enunciado pede: determinar o trabalho realizado sobre o bloco durante o processo pela força exercida pela mão.

Passo 2

Identificar a constante elástica da mola usando a condição de equilíbrio final. Em equilíbrio o módulo da força elástica para cima deve equilibrar o peso para baixo, isto é:
k\,d = m g,
onde
  • k é a constante elástica da mola (N/m),
  • d é o alongamento (m),
  • m é a massa (kg),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2). Aqui tomamos \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
    Da relação acima isolamos k:
k=\frac{m g}{d}.
Substituindo os valores:
k=\frac{6,80\cdot 9,80}{0,132}=\frac{66,64}{0,132}\approx 504,5\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Escrever a força exercida pela mão em função do alongamento x (medido para baixo a partir da posição relaxada). Para o movimento lento (velocidade praticamente nula) a soma das forças é zero em cada instante. Tomando sentido para cima como positivo, as forças são:
  • força elástica para cima: F_{\text{mol}}=kx,
  • força peso para baixo: -mg,
  • força da mão F_{\text{mão}}ã (sinal pode ser positivo para cima).
    Equilíbrio instantâneo implica
k x + F_{\text{mão}} - m g = 0ã
portanto
F_{\text{mão}}=m g - k x.ã
Observação de sinais: para 0\le x<d temos F_{\text{mão}}>0ã (a mão puxa para cima), e no fim F_{\text{mão}}(d)=0ã.

Passo 4

Expressar o trabalho da mão como integral do produto da força deslocamento. O bloco desce desde x=0 até x=d; tomar x positivo para baixo. A força da mão tem direção para cima (oposta ao deslocamento), logo o elemento de trabalho da mão é
dW_{\text{mão}} = -F_{\text{mão}}\,dx = -\bigl(mg - kx\bigr)\,dx.ãã
Integrando de 0 a d:
W_{\text{mão}} = -\int_{0}^{d}\bigl(mg - kx\bigr)\,dx = -\left[ mg\,x - \frac{k x^2}{2} \right]_{0}^{d} = -\bigl(mg\,d - \tfrac{1}{2}k d^2\bigr).ã

Passo 5

Simplificar usando a relação de equilíbrio k d = m g. Substituindo k d = m g em \,mg\,d - \tfrac{1}{2}k d^2 obtemos:
mg\,d - \tfrac{1}{2}k d^2 = mg\,d - \tfrac{1}{2}(mg\,d) = \tfrac{1}{2}mg\,d.
Portanto
W_{\text{mão}} = -\tfrac{1}{2} m g d.ã

Passo 6

Calcular numericamente:
W_{\text{mão}} = -\tfrac{1}{2}\cdot 6,80\cdot 9,80\cdot 0,132.ã
Primeiro m g = 6,80\cdot 9,80 = 66,64\\ \mathrm{N}. Então
\tfrac{1}{2} m g d = \tfrac{1}{2}\cdot 66,64\cdot 0,132 \approx 4,396\\ \mathrm{J}.
Logo
W_{\text{mão}} \approx -4,40\\ \mathrm{J}.ã

Passo 7

Verificação física rápida (intuição): a energia potencial gravitacional diminui em mg d enquanto a energia potencial elástica aumenta em \tfrac{1}{2}k d^2=\tfrac{1}{2} m g d; a diferença -\tfrac{1}{2} m g d é o trabalho efetuado pela mão (retirando energia), compatível com o resultado obtido.

Resposta

-4,40\\ \mathrm{J}

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