Uma mola está suspensa verticalmente em seu estado relaxado. Um bloco de massa
está preso à mola, mas inicialmente o bloco é sustentado de modo que a mola não fique distendida. Em seguida, a mão que sustenta o bloco é abaixada lentamente, de forma que o bloco desce com velocidade constante até atingir a posição em que permanece em equilíbrio após a mão ser retirada. Nesse ponto, observa-se que a mola se distendeu uma distância
em relação ao seu comprimento relaxado inicial.
Determine o trabalho realizado sobre o bloco durante esse processo:
pela força exercida pela mão.
Determine o trabalho realizado sobre o bloco durante esse processo:
pela força exercida pela mão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que se pede. Peguei da figura que o bloco parte com a mola no comprimento relaxado, essa posição é indicada como
. Os dados são:
- massa do bloco:
. - alongamento final (quando o bloco fica em equilíbrio):
.
O enunciado pede: determinar o trabalho realizado sobre o bloco durante o processo pela força exercida pela mão.
Passo 2
Identificar a constante elástica da mola usando a condição de equilíbrio final. Em equilíbrio o módulo da força elástica para cima deve equilibrar o peso para baixo, isto é:
onde
-
é a constante elástica da mola (N/m), -
é o alongamento (m), -
é a massa (kg), -
é a aceleração da gravidade (m/s ). Aqui tomamos .
Da relação acima isolamos:
Substituindo os valores:
Passo 3
Escrever a força exercida pela mão em função do alongamento
(medido para baixo a partir da posição relaxada). Para o movimento lento (velocidade praticamente nula) a soma das forças é zero em cada instante. Tomando sentido para cima como positivo, as forças são:
- força elástica para cima:
, - força peso para baixo:
, - força da mão
(sinal pode ser positivo para cima).
Equilíbrio instantâneo implica
portanto
Observação de sinais: para
temos
(a mão puxa para cima), e no fim
.
Passo 4
Expressar o trabalho da mão como integral do produto da força deslocamento. O bloco desce desde
até
; tomar
positivo para baixo. A força da mão tem direção para cima (oposta ao deslocamento), logo o elemento de trabalho da mão é
Integrando de
a
:
Passo 5
Simplificar usando a relação de equilíbrio
. Substituindo
em
obtemos:
Portanto
Passo 6
Calcular numericamente:
Primeiro
. Então
Logo
Passo 7
Verificação física rápida (intuição): a energia potencial gravitacional diminui em
enquanto a energia potencial elástica aumenta em
; a diferença
é o trabalho efetuado pela mão (retirando energia), compatível com o resultado obtido.