Em um reator nuclear, os nêutrons podem perder energia ao colidir com núcleos de átomos presentes no material do núcleo do reator. Considere um nêutron de massa mn com energia cinética inicial de 4,5 \mathrm{MeV}(1 \mathrm{eV}= 1,602 \times 10^{-19} \mathrm{~J} ). Determine quanta energia cinética esse nêutron perde ao sofrer uma colisão frontal perfeitamente elástica com um núcleo de:
1 \mathrm{mn}=1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} carbono, cuja massa é \(\mathrm{mc}_{\mathrm{c}}=14 \mathrm{mn}\)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: energia cinética inicial do nêutron \,K_{i}=4,5\\ \mathrm{MeV}\, (tomei este valor do enunciado).
  • Dado: massa do nêutron \,m_n=1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\, (tomei este valor do enunciado).
  • Dado: massa do núcleo de carbono \,m_c=14\,m_n\, (tomei esta relação do enunciado).
  • Condição: colisão frontal perfeitamente elástica, com o núcleo inicialmente em repouso.
  • Pedido: determinar quanta energia cinética o nêutron perde nessa colisão (ou seja, \Delta K = K_i - K_f, em MeV e em joules).

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (explicando cada variável):
  • Conservação da quantidade de movimento (momento linear) antes e depois da colisão. Para massas m_1 (projétil, aqui nêutron) e m_2 (alvo, aqui núcleo), com velocidades iniciais v_1 e v_2=0 (alvo em repouso) e velocidades finais v_1' e v_2', vale:
m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'.
  • Conservação de energia cinética (colisão elástica):
\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2.
  • Nosso objetivo prático: obter K_f=\tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 em função de K_i=\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2. Depois calculamos \Delta K = K_i-K_f.

Passo 3

Derivação da expressão para v_1' (velocidade final do nêutron) a partir das duas equações acima.
Começo escrevendo as duas equações (com m_1=m_n e m_2=m_c, mas por enquanto mantenho símbolos genéricos m_1,m_2):
m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'
\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2
Uma forma prática de resolver é usar a propriedade da colisão elástica em 1D: a velocidade relativa inverte de sinal, ou seja
v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2').
Como v_2=0, isso dá
v_1 = -(v_1' - v_2') \quad\Rightarrow\quad v_2' = v_1 + v_1'.
Substituindo v_2' na conservação do momento:
m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 (v_1 + v_1').
Isolando v_1':
m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_1 + m_2 v_1'
m_1 v_1 - m_2 v_1 = v_1'(m_1 + m_2)
v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1.
Portanto, para colisão frontal elástica com o alvo em repouso, a velocidade final do projétil é essa razão multiplicando a velocidade inicial.

Passo 4

Obter a razão entre energias finais e iniciais do nêutron.
A energia cinética depende de v^2, então
\frac{K_f}{K_i}=\frac{\tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2}{\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2}=\left(\frac{v_1'}{v_1}\right)^2.
Usando a expressão de v_1':
\frac{K_f}{K_i}=\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2.
Logo a fração da energia perdida pelo projétil é
\frac{\Delta K}{K_i}=1-\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2.

Passo 5

Aplicar ao caso concreto: m_1=m_n e m_2=m_c=14\,m_n.
Calculo a razão de massas:
\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}=\frac{m_n-14m_n}{m_n+14m_n}=\frac{-13\,m_n}{15\,m_n}=-\frac{13}{15}.
Ao quadrado:
\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2=\left(\frac{13}{15}\right)^2=\frac{169}{225}\approx0,751\overline{1}.
Portanto a fração de energia perdida é
\frac{\Delta K}{K_i}=1-\frac{169}{225}=\frac{56}{225}\approx0,248\overline{8}.

Passo 6

Calcular o valor numérico da energia perdida.
  • Em MeV:
\Delta K = K_i\cdot\frac{56}{225} = 4,5\\ \mathrm{MeV}\times\frac{56}{225}.
Note que \dfrac{4,5}{225}=0,02, logo
\Delta K = 0,02\times56\\ \mathrm{MeV}=1,12\\ \mathrm{MeV}.
  • Em joules (usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
1,12\\ \mathrm{MeV}=1,12\times10^{6}\\ \mathrm{eV}\times1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}.
1,12\\ \mathrm{MeV}=1,79424\times10^{-13}\\ \mathrm{J}\approx1,79\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: o nêutron perde cerca de 25\% de sua energia em uma colisão frontal perfeitamente elástica com um núcleo 14 vezes mais massivo (carbono na hipótese dada). Boa! Isso já te dá um número claro para usar na prova — e a forma geral permite aplicar o mesmo raciocínio para outros núcleos só trocando a razão de massas. Você está indo bem, continua assim!

Resposta

\Delta K = 1,12\\ \mathrm{MeV}
\Delta K \approx 1,79\times10^{-13}\\ \mathrm{J}

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