Para a molécula { }^{63} \mathrm{Cu}^{16} \mathrm{O} no estado fundamental, sabe-se que D_{\mathrm{e}}=25140 \mathrm{~cm}^{-1}, \omega_{\mathrm{e}}=629 \mathrm{~cm}^{-1} e R_{\mathrm{e}}=1,729 \AA. Calcule a massa reduzida da molécula e o parâmetro de Morse \alpha, calcule o termo vibracional para a distância de equilíbrio e mais uns quatro ou cinco deslocamentos e faça um gráfico em escala do potencial de Morse para CuO . Determine também a anarmonicidade da curva e o último nível vibracional acessível. ( 25 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (valores que vamos usar exatamente):
  • D_{\mathrm{e}}=25140\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • \omega_{\mathrm{e}}=629\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • R_{\mathrm{e}}=1{,}729\\ \text{\AA}.
    A tarefa pedida:
  1. Calcular a massa reduzida da molécula {}^{63}\mathrm{Cu}^{16}\mathrm{O}.
  2. Calcular o parâmetro de Morse \alpha.
  3. Calcular o termo vibracional para r=R_{\mathrm{e}} e para mais alguns deslocamentos (para poder traçar o potencial).
  4. Fazer um gráfico em escala (fornecer valores suficientes para traçar o potencial de Morse).
  5. Determinar a anarmonicidade da curva (constante de anarmonicidade) e o último nível vibracional ligado acessível (o maior v que ainda dá energia menor que D_{\mathrm{e}}).
    Observações úteis (não pedidas mas relevantes): quando aparecerem energias em \mathrm{cm^{-1}} usaremos essas unidades para os níveis e para D_{\mathrm{e}} (é padrão em espectroscopia); para cálculos que exigem unidades SI converteremos D_{\mathrm{e}} para joules usando E=hc\tilde{E}.

Passo 2

Calcular a massa reduzida \mu.
  • Definição: a massa reduzida de duas massas m_1 e m_2 é
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
  • Usaremos unidades atômicas aproximadas para facilitar (1 u =1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}). Tomando as massas aproximadamente pelos números de massa:
    • m_{\mathrm{Cu}}\approx 63\\ \mathrm{u},
    • m_{\mathrm{O}}\approx 16\\ \mathrm{u}.
  • Em unidades de u:
\mu_{\text{(u)}}=\frac{63\cdot 16}{63+16}=\frac{1008}{79}\approx 12{,}7594937\\ \mathrm{u}.
  • Em kg:
\mu = \mu_{\text{(u)}}\times 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}
\mu \approx 12{,}7594937\times 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\approx 2{,}118\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
(Comentário: usar massas isotópicas mais precisas muda muito pouco o resultado; para a prova este valor é adequado.)

Passo 3

Derivar a relação que dá \alpha a partir de \omega_{\mathrm{e}} e D_{\mathrm{e}} (Morse).
  • Potencial de Morse (com mínimo em r=R_{\mathrm{e}}):
V(r)=D_{\mathrm{e}}\bigl[1-e^{-\alpha (r-R_{\mathrm{e}})}\bigr]^2,
onde D_{\mathrm{e}} é a profundidade do poço (em energia).
  • Expansão quadrática perto do mínimo: para pequeno x=r-R_{\mathrm{e}},
V(r)\approx D_{\mathrm{e}}(\alpha x)^2=\tfrac{1}{2}k x^2,
portanto a constante de mola efetiva é
k=2D_{\mathrm{e}}\alpha^2,
usando D_{\mathrm{e}} em joules.
  • A frequência angular clássica pequena-oscilações é
\omega_{\text{ang}}=\sqrt{\frac{k}{\mu}}=\alpha\sqrt{\frac{2D_{\mathrm{e}}}{\mu}}.
  • A constante \omega_{\mathrm{e}} dada em espectroscopia é o número de onda (em \mathrm{cm^{-1}}) relacionado com a frequência linear por \nu=\tilde{\nu}\,c e com a frequência angular por \omega_{\text{ang}}=2\pi\nu=2\pi c\tilde{\nu}. Logo, igualando:
2\pi c\,\omega_{\mathrm{e}}=\alpha\sqrt{\frac{2D_{\mathrm{e}}^{(J)}}{\mu}},
onde D_{\mathrm{e}}^{(J)}=hc\widetilde{D_{\mathrm{e}}} é D_{\mathrm{e}} em joules (aqui \widetilde{D_{\mathrm{e}}} é o valor em \mathrm{cm^{-1}}).
  • Reorganizando para \alpha:
\alpha = 2\pi c\,\omega_{\mathrm{e}}\sqrt{\frac{\mu}{2D_{\mathrm{e}}^{(J)}}}.
  • Agora calculamos numericamente. Primeiro D_{\mathrm{e}}^{(J)}:
D_{\mathrm{e}}^{(J)}=hc\,\widetilde{D_{\mathrm{e}}}
com h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} e c=2{,}99792458\times10^{10}\\ \mathrm{cm/s} (uso c em \mathrm{cm/s} porque \widetilde{D_{\mathrm{e}}} está em \mathrm{cm^{-1}}):
hc \approx 1{,}98644586\times10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot cm},
D_{\mathrm{e}}^{(J)}\approx 1{,}98644586\times10^{-23}\times 25140\\ \mathrm{J}\approx 4{,}9939\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Calcular \alpha:
2\pi c\,\omega_{\mathrm{e}}=2\pi\times(2{,}99792458\times10^{10})\times 629\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 1{,}18484\times10^{14}\\ \mathrm{s^{-1}}.
\sqrt{\frac{\mu}{2D_{\mathrm{e}}^{(J)}}}\approx\sqrt{\frac{2{,}118\times10^{-26}}{2\times 4{,}9939\times10^{-19}}}\approx 1{,}456\times10^{-4}\\ \mathrm{s/m}.
\alpha \approx 1{,}18484\times10^{14}\times 1{,}456\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{-1}}\approx 1{,}726\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Converter para \text{\AA}^{-1} ( 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}):
\alpha\approx 1{,}726\\ \text{\AA}^{-1}.

Passo 4

Constantes vibracionais e anarmonicidade (fórmulas e cálculos).
  • Para o potencial de Morse os níveis vibracionais (em \mathrm{cm^{-1}}) são aproximadamente dados por
G(v)=\omega_{\mathrm{e}}\Bigl(v+\tfrac{1}{2}\Bigr)-\omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}\Bigl(v+\tfrac{1}{2}\Bigr)^2,
onde a constante de anarmonicidade \omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}} para Morse relaciona-se com D_{\mathrm{e}} por
\omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}=\frac{\omega_{\mathrm{e}}^2}{4\widetilde{D_{\mathrm{e}}}}.
(Aqui \widetilde{D_{\mathrm{e}}} e \omega_{\mathrm{e}} estão em \mathrm{cm^{-1}}.)
  • Calcular \omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}:
\omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}=\frac{629^2}{4\times 25140}=\frac{395641}{100560}\approx 3{,}9347\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • O parâmetro adimensional x_{\mathrm{e}} é
x_{\mathrm{e}}=\frac{\omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}}{\omega_{\mathrm{e}}}=\frac{3{,}9347}{629}\approx 0{,}006258.
  • Nível vibracional fundamental ( v=0):
G(0)=\omega_{\mathrm{e}}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)-\omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^2 =629\times 0{,}5 - 3{,}9347\times 0{,}25.
G(0)\approx 314{,}5 - 0{,}9837 \approx 313{,}516\\ \mathrm{cm^{-1}}.
(Este é o termo vibracional do estado v=0 medido acima do mínimo do potencial; às vezes chama-se energia zero-pontual em unidades de \mathrm{cm^{-1}}.)

Passo 5

Calcular o potencial de Morse V(r) em alguns pontos para traçar o gráfico (usaremos D_{\mathrm{e}} em \mathrm{cm^{-1}}, \alpha em \text{\AA}^{-1} e r em \text{\AA}; assim V(r) sai em \mathrm{cm^{-1}}).
  • Fórmula (em unidades espectroscópicas):
V(r)=\widetilde{D_{\mathrm{e}}}\bigl[1-\exp\bigl(-\alpha (r-R_{\mathrm{e}})\bigr)\bigr]^2,
onde \widetilde{D_{\mathrm{e}}}=25140\\ \mathrm{cm^{-1}} e \alpha=1{,}726\\ \text{\AA}^{-1}.
  • Vamos calcular V(r) para os pontos:
    • r=R_{\mathrm{e}}-0{,}10=1{,}629\\ \text{\AA},
    • r=R_{\mathrm{e}}-0{,}05=1{,}679\\ \text{\AA},
    • r=R_{\mathrm{e}}=1{,}729\\ \text{\AA},
    • r=R_{\mathrm{e}}+0{,}05=1{,}779\\ \text{\AA},
    • r=R_{\mathrm{e}}+0{,}10=1{,}829\\ \text{\AA},
    • r=R_{\mathrm{e}}+0{,}20=1{,}929\\ \text{\AA}.
  • Cálculo (mostrando passos para um ponto; os outros seguem o mesmo procedimento):
    • Para \Delta r=r-R_{\mathrm{e}}, calcular s=\exp(-\alpha\Delta r), depois V(r)=\widetilde{D_{\mathrm{e}}}\bigl(1-s\bigr)^2.
  • Resultados numéricos (arredondados a 1 d.p. ou 0,1 cm^{-1} conforme faz sentido):
    • r=1{,}629\\ \text{\AA} ( \Delta r=-0{,}10\\ \text{\AA}): s=\exp(+0{,}1726)\approx1{,}1884\Rightarrow V\approx 892{,}2\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    • r=1{,}679\\ \text{\AA} ( \Delta r=-0{,}05\\ \text{\AA}): s=\exp(+0{,}0863)\approx1{,}0902\Rightarrow V\approx 204{,}5\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    • r=1{,}729\\ \text{\AA} ( \Delta r=0): s=1\Rightarrow V=0\\ \mathrm{cm^{-1}} (mínimo).
    • r=1{,}779\\ \text{\AA} ( \Delta r=+0{,}05\\ \text{\AA}): s=\exp(-0{,}0863)\approx0{,}9174\Rightarrow V\approx 171{,}6\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    • r=1{,}829\\ \text{\AA} ( \Delta r=+0{,}10\\ \text{\AA}): s=\exp(-0{,}1726)\approx0{,}8415\Rightarrow V\approx 631{,}6\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    • r=1{,}929\\ \text{\AA} ( \Delta r=+0{,}20\\ \text{\AA}): s=\exp(-0{,}3452)\approx0{,}7083\Rightarrow V\approx 2139\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • Comentário sobre assimetria: note que para o mesmo |\Delta r| a energia para compressão ( \Delta r<0) é diferente da energia para estiramento ( \Delta r>0), o que reflete a assimetria típica do potencial de Morse (paredes de potencial não simétricas).

Passo 6

Determinar o último nível vibracional ligado (maior v tal que G(v)<\widetilde{D_{\mathrm{e}}}).
  • Como derivado na teoria do Morse, a condição G(v)<\widetilde{D_{\mathrm{e}}} leva à solução exata para o valor limite contínuo:
v+\tfrac{1}{2}=\frac{1}{2x_{\mathrm{e}}}.
  • Assim o maior v inteiro é
v_{\max}=\left\lfloor\frac{1}{2x_{\mathrm{e}}}-\tfrac{1}{2}\right\rfloor.
  • Usando x_{\mathrm{e}}\approx 0{,}006258,
\frac{1}{2x_{\mathrm{e}}}-\tfrac{1}{2}\approx\frac{1}{0{,}012516}-0{,}5\approx 79{,}373\ldots
v_{\max}=\lfloor 79{,}373\ldots\rfloor=79.
  • Verificação numérica rápida do nível v=79:
G(79)=629\times 79{,}5 - 3{,}9347\times 79{,}5^2\approx 50005{,}5 - 24868{,}7\approx 25136{,}8\\ \mathrm{cm^{-1}},
que é pouco menor que D_{\mathrm{e}}=25140\\ \mathrm{cm^{-1}}. Portanto v=79 é o último nível ligado; v=80 já ultrapassaria a dissociação.

Passo 7

Como traçar o gráfico (instruções de escala) e observações finais sobre anarmonicidade.
  • Para traçar o potencial de Morse use os pares (r,V(r)) calculados no Passo 5; para uma boa figura use r de \sim 1{,}4 a 3{,}0\\ \text{\AA} (passo de 0{,}02 a 0{,}05\\ \text{\AA}) e calcule V(r) com a fórmula do Passo 5. Eixos sugeridos:
    • eixo x: r em \text{\AA} (marcar R_{\mathrm{e}}=1{,}729\\ \text{\AA}),
    • eixo y: V(r) em \mathrm{cm^{-1}} (de 0 até D_{\mathrm{e}}=25140\\ \mathrm{cm^{-1}}).
  • A anarmonicidade elétrica relevante para níveis é dada por \omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}\approx 3{,}935\\ \mathrm{cm^{-1}} (valor pequeno comparado a \omega_{\mathrm{e}}=629\\ \mathrm{cm^{-1}}, o que explica a boa aproximação harmônica para níveis baixos).
  • Resumo físico e encorajamento: a curva de Morse obtida é suave, com mínimo em R_{\mathrm{e}}, assintoticamente tendendo a D_{\mathrm{e}} para r\to\infty; a pequena constante de anarmonicidade explica por que há muitas linhas vibracionais (aqui 0 a 79) antes da dissociação — não se desespere, o importante é seguir as fórmulas e a lógica que mostramos.

Resposta

\mu \approx 2{,}118\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}\\ (\approx 12{,}7595\\ \mathrm{u})
\alpha \approx 1{,}726\\ \text{\AA}^{-1}
G(0)\approx 313{,}52\\ \mathrm{cm^{-1}}
Pontos do potencial de Morse V(r) (em \mathrm{cm^{-1}}):
r=1{,}629\\ \text{\AA}\Rightarrow V\approx 892{,}2
r=1{,}679\\ \text{\AA}\Rightarrow V\approx 204{,}5
r=1{,}729\\ \text{\AA}\Rightarrow V=0{,}0
r=1{,}779\\ \text{\AA}\Rightarrow V\approx 171{,}6
r=1{,}829\\ \text{\AA}\Rightarrow V\approx 631{,}6
r=1{,}929\\ \text{\AA}\Rightarrow V\approx 2139
Anarmonicidade: \omega_{\mathrm{e}}x_{\mathrm{e}}\approx 3{,}9347\\ \mathrm{cm^{-1}} (logo x_{\mathrm{e}}\approx 0{,}006258)
Último nível vibracional ligado: v_{\max}=79 (para v=79, G(79)\approx 25136{,}8\\ \mathrm{cm^{-1}}<D_{\mathrm{e}}).

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