Para a molécula
no estado fundamental, sabe-se que
e
. Calcule a massa reduzida da molécula e o parâmetro de Morse
, calcule o termo vibracional para a distância de equilíbrio e mais uns quatro ou cinco deslocamentos e faça um gráfico em escala do potencial de Morse para CuO . Determine também a anarmonicidade da curva e o último nível vibracional acessível. ( 25 pontos)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (valores que vamos usar exatamente):
-
. -
. -
.
A tarefa pedida:
- Calcular a massa reduzida da molécula
. - Calcular o parâmetro de Morse
. - Calcular o termo vibracional para
e para mais alguns deslocamentos (para poder traçar o potencial). - Fazer um gráfico em escala (fornecer valores suficientes para traçar o potencial de Morse).
- Determinar a anarmonicidade da curva (constante de anarmonicidade) e o último nível vibracional ligado acessível (o maior
que ainda dá energia menor que ).
Observações úteis (não pedidas mas relevantes): quando aparecerem energias emusaremos essas unidades para os níveis e para (é padrão em espectroscopia); para cálculos que exigem unidades SI converteremos para joules usando .
Passo 2
Calcular a massa reduzida
.
- Definição: a massa reduzida de duas massas
e é
- Usaremos unidades atômicas aproximadas para facilitar (1 u
). Tomando as massas aproximadamente pelos números de massa: -
, -
.
-
- Em unidades de
:
- Em kg:
(Comentário: usar massas isotópicas mais precisas muda muito pouco o resultado; para a prova este valor é adequado.)
Passo 3
Derivar a relação que dá
a partir de
e
(Morse).
- Potencial de Morse (com mínimo em
):
onde
é a profundidade do poço (em energia).
- Expansão quadrática perto do mínimo: para pequeno
,
portanto a constante de mola efetiva é
usando
em joules.
- A frequência angular clássica pequena-oscilações é
- A constante
dada em espectroscopia é o número de onda (em ) relacionado com a frequência linear por e com a frequência angular por . Logo, igualando:
onde
é
em joules (aqui
é o valor em
).
- Reorganizando para
:
- Agora calculamos numericamente. Primeiro
:
com
e
(uso
em
porque
está em
):
- Calcular
:
- Converter para
( ):
Passo 4
Constantes vibracionais e anarmonicidade (fórmulas e cálculos).
- Para o potencial de Morse os níveis vibracionais (em
) são aproximadamente dados por
onde a constante de anarmonicidade
para Morse relaciona-se com
por
(Aqui
e
estão em
.)
- Calcular
:
- O parâmetro adimensional
é
- Nível vibracional fundamental (
):
(Este é o termo vibracional do estado
medido acima do mínimo do potencial; às vezes chama-se energia zero-pontual em unidades de
.)
Passo 5
Calcular o potencial de Morse
em alguns pontos para traçar o gráfico (usaremos
em
,
em
e
em
; assim
sai em
).
- Fórmula (em unidades espectroscópicas):
onde
e
.
- Vamos calcular
para os pontos: -
, -
, -
, -
, -
, -
.
-
- Cálculo (mostrando passos para um ponto; os outros seguem o mesmo procedimento):
- Para
, calcular , depois .
- Para
- Resultados numéricos (arredondados a 1 d.p. ou 0,1 cm^{-1} conforme faz sentido):
-
( ): . -
( ): . -
( ): (mínimo). -
( ): . -
( ): . -
( ): .
-
- Comentário sobre assimetria: note que para o mesmo
a energia para compressão ( ) é diferente da energia para estiramento ( ), o que reflete a assimetria típica do potencial de Morse (paredes de potencial não simétricas).
Passo 6
Determinar o último nível vibracional ligado (maior
tal que
).
- Como derivado na teoria do Morse, a condição
leva à solução exata para o valor limite contínuo:
- Assim o maior
inteiro é
- Usando
,
- Verificação numérica rápida do nível
:
que é pouco menor que
. Portanto
é o último nível ligado;
já ultrapassaria a dissociação.
Passo 7
Como traçar o gráfico (instruções de escala) e observações finais sobre anarmonicidade.
- Para traçar o potencial de Morse use os pares
calculados no Passo 5; para uma boa figura use de a (passo de a ) e calcule com a fórmula do Passo 5. Eixos sugeridos: - eixo
: em (marcar ), - eixo
: em (de 0 até ).
- eixo
- A anarmonicidade elétrica relevante para níveis é dada por
(valor pequeno comparado a , o que explica a boa aproximação harmônica para níveis baixos). - Resumo físico e encorajamento: a curva de Morse obtida é suave, com mínimo em
, assintoticamente tendendo a para ; a pequena constante de anarmonicidade explica por que há muitas linhas vibracionais (aqui 0 a 79) antes da dissociação — não se desespere, o importante é seguir as fórmulas e a lógica que mostramos.
Resposta
Pontos do potencial de Morse
Anarmonicidade:
Último nível vibracional ligado: