(2 p) Numa molécula diatômica heteronuclear A-B, a energia do orbital de valência da átomo A é -12,5 \mathrm{eV} e a do átomo B, -2,5 \mathrm{eV}.
A integral de ressonância dos dois orbitais é -5 eV . Calcule o ângulo de mistura do orbital molecular composto dos dois.
Escolha uma opção:
\bigcirc 0,55 => O orbital molecular é uma verdadeira mistura dos orbitais atômicos
\bigcirc 0,66 => O orbital molecular é uma verdadeira mistura dos orbitais atômicos
\bigcirc 0,39 => Os orbitais não se misturam
\bigcirc 0,23=> Os orbitais não se misturam

Passo 1

O enunciado pede: calcular o ângulo de mistura do orbital molecular formado pela combinação linear dos orbitais atômicos de A e B.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\epsilon_A = -12,5\\ \mathrm{eV}
\epsilon_B = -2,5\\ \mathrm{eV}
H_{AB} = -5\\ \mathrm{eV} (a integral de ressonância)

Passo 2

O que é esse “ângulo de mistura” e como achá‑lo? Vou te explicar devagarinho.
Quando combinamos dois orbitais atômicos \phi_A e \phi_B para formar orbitais moleculares, a Hamiltoniana na base \{\phi_A,\phi_B\} fica como uma matriz 2\times2:
\mathbf{H}=\begin{pmatrix}\epsilon_A & H_{AB}\\[4pt] H_{AB} & \epsilon_B\end{pmatrix}.
Para achar os autovalores (energias moleculares) e autovetores (coeficientes da combinação linear) a gente diagonaliza essa matriz. Diagonalizar uma matriz simétrica 2\times2 é equivalente a aplicar uma rotação de ângulo \theta que transforma a base atômica na base de orbitais moleculares. Esse ângulo \theta satisfaz a relação conhecida (derivável explicitamente pela condição de anular os elementos fora da diagonal após a rotação):
\tan\big(2\theta\big)=\frac{2H_{AB}}{\epsilon_A-\epsilon_B}.
Explicando a fórmula: \theta é o ângulo de rotação; 2H_{AB} aparece porque o acoplamento off‑diagonal é o que mistura os estados; \epsilon_A-\epsilon_B é a diferença de energia dos orbitais não acoplados — se essa diferença é grande, a mistura é pequena; se o acoplamento é grande comparado à diferença, a mistura é grande.]

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula usando os números do enunciado. Primeiro calculo a diferença de energias:
\epsilon_A-\epsilon_B = -12,5 - (-2,5) = -12,5 + 2,5 = -10,0\\ \mathrm{eV}.
E o numerador:
2H_{AB} = 2\cdot(-5) = -10,0\\ \mathrm{eV}.
Substituindo em \tan(2\theta):
\tan\big(2\theta\big)=\frac{-10,0}{-10,0}=1.

Passo 4

Se \tan(2\theta)=1, então
2\theta = \arctan(1) = 45^\circ.
Logo
\theta = \frac{45^\circ}{2} = 22,5^\circ.
Convertendo para radianos (porque as opções estão em número decimal que parece radiano):
\theta = 22,5^\circ = \frac{\pi}{8}\approx 0,392699\ldots
Arredondando para duas casas decimais (como nas opções): \theta \approx 0,39 (radianos).
Interpretação curta: \theta\approx 22,5^\circ não é zero — há mistura real entre os orbitais; é uma mistura moderada (nem desprezível, nem perfeita).

Resposta

0,39

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