Um drone realiza um voo sobre um campo aberto seguindo uma trajetória descrita, em metros, pelas equações paramétricas:
onde
é o tempo em segundos.
(a) Determine o vetor posição do drone no instante
nas notações: de vetores unitários e na notação módulo-ângulo em relação ao eixo
.
(b) Calcule o vetor velocidade e o vetor aceleração do drone no instante
.
(c) Determine o ângulo entre os vetores
e
nesse instante.
(d) Determine o ângulo de inclinação da trajetória, isto é, o ângulo
que o vetor velocidade faz com o eixo
:
(a) Determine o vetor posição do drone no instante
(b) Calcule o vetor velocidade e o vetor aceleração do drone no instante
(c) Determine o ângulo entre os vetores
(d) Determine o ângulo de inclinação da trajetória, isto é, o ângulo
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas da trajetória do drone, em metros, como funções do tempo
em segundos:
Pede-se:
(a) o vetor posição no instante nas duas notações: (i) notação de vetores unitários e (ii) notação módulo‑ângulo em relação ao eixo
;
(b) os vetores velocidade e aceleração
no instante
;
(c) o ângulo entre e
nesse instante;
(d) o ângulo de inclinação da trajetória , isto é, o ângulo que
faz com o eixo
.
(a) o vetor posição no instante
(b) os vetores velocidade
(c) o ângulo entre
(d) o ângulo de inclinação da trajetória
Anotei todas as informações relevantes acima. A partir do Passo 2 começa a resolução numérica.
Passo 2
Vamos calcular a posição no instante
. Substituímos
nas expressões de
e
.
Calcule
:
Explicando cada termo:
e
. Então
Calcule os produtos:
Logo
Calcule
:
Calcule os produtos:
Então
Passo 3
Formamos o vetor posição em notação de vetores unitários (i, j). O vetor posição
tem componentes
, logo em
:
Agora convertemos para a notação módulo‑ângulo. Primeiro o módulo (norma) do vetor:
Explique: a norma de um vetor
é
. Calculamos:
Para o ângulo
medido a partir do eixo
usamos a tangente:
Logo
Explique:
dá o ângulo cuja tangente é a razão entre a componente
e a componente
. Como
e
, o ângulo fica no primeiro quadrante.
Passo 4
Passamos a velocidade. A velocidade é a derivada temporal do vetor posição:
. Derivamos cada componente:
Derivada de
:
Derivada de
:
Avalie em
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Passo 5
Agora a aceleração:
, derivando as componentes de
.
Derivada de
:
Derivada de
:
Avalie em
:
Calcule
:
Calcule
:
Logo
Passo 6
Agora determinamos o ângulo entre
e
. Usamos o produto escalar: para dois vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles. Assim
Aplicamos com
e
.
Calcule o produto escalar:
Calcule os termos:
Soma:
Calcule as normas:
Calcule
:
Finalmente o ângulo:
Interpretação rápida: o cosseno negativo indica que o ângulo é maior que
, ou seja,
e
formam um ângulo obtuso (aceleração tem componente oposta à velocidade neste instante).
Passo 7
Determinamos o ângulo de inclinação da trajetória
. Por definição,
é o ângulo que o vetor velocidade
faz com o eixo
. Para um vetor
,
Aqui
e
. Então
Explique: usamos
porque a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente; no plano, isso corresponde a
. Como
, o ângulo está entre
e
e neste caso é positivo (primeiro quadrante).
Resposta
(a)
(a, módulo‑ângulo)
(a, módulo‑ângulo)
(b)
(b)
(b)
(c) Ângulo entre
e
:
(d) Ângulo de inclinação da trajetória: