Um drone realiza um voo sobre um campo aberto seguindo uma trajetória descrita, em metros, pelas equações paramétricas:
x(t)=0,40 t^{3}-3,2 t^{2}+6 t+15, \quad y(t)=-0,25 t^{3}+2,4 t^{2}+4 t+10
onde t é o tempo em segundos.
(a) Determine o vetor posição do drone no instante t=5 \mathrm{~s} nas notações: de vetores unitários e na notação módulo-ângulo em relação ao eixo x.
(b) Calcule o vetor velocidade e o vetor aceleração do drone no instante t=5 \mathrm{~s}.
(c) Determine o ângulo entre os vetores \vec{v} e \vec{a} nesse instante.
(d) Determine o ângulo de inclinação da trajetória, isto é, o ângulo \theta_{T} que o vetor velocidade faz com o eixo x :

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da trajetória do drone, em metros, como funções do tempo t em segundos:
x(t)=0,40\,t^{3}-3,2\,t^{2}+6\,t+15,
y(t)=-0,25\,t^{3}+2,4\,t^{2}+4\,t+10.
Pede-se:
(a) o vetor posição no instante t=5\\ \mathrm{s} nas duas notações: (i) notação de vetores unitários e (ii) notação módulo‑ângulo em relação ao eixo x;
(b) os vetores velocidade \vec{v} e aceleração \vec{a} no instante t=5\\ \mathrm{s};
(c) o ângulo entre \vec{v} e \vec{a} nesse instante;
(d) o ângulo de inclinação da trajetória \theta_{T}, isto é, o ângulo que \vec{v} faz com o eixo x.
Anotei todas as informações relevantes acima. A partir do Passo 2 começa a resolução numérica.

Passo 2

Vamos calcular a posição no instante t=5. Substituímos t=5 nas expressões de x(t) e y(t).
Calcule x(5):
x(5)=0,40\cdot 5^{3}-3,2\cdot 5^{2}+6\cdot 5+15.
Explicando cada termo: 5^{3}=125 e 5^{2}=25. Então
x(5)=0,40\cdot 125 - 3,2\cdot 25 + 30 + 15.
Calcule os produtos:
0,40\cdot 125 = 50,\qquad 3,2\cdot 25 = 80.
Logo
x(5)=50 - 80 + 30 + 15 = 15\\ (\mathrm{m}).
Calcule y(5):
y(5)=-0,25\cdot 125 + 2,4\cdot 25 + 4\cdot 5 + 10.
Calcule os produtos:
-0,25\cdot 125 = -31,25,\qquad 2,4\cdot 25 = 60,\qquad 4\cdot 5 = 20.
Então
y(5)=-31,25 + 60 + 20 + 10 = 58,75\\ (\mathrm{m}).

Passo 3

Formamos o vetor posição em notação de vetores unitários (i, j). O vetor posição \vec{r}(t) tem componentes (x(t),y(t)), logo em t=5:
\vec{r}(5)=15\,\hat{\imath}+58,75\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m}).
Agora convertemos para a notação módulo‑ângulo. Primeiro o módulo (norma) do vetor:
\|\vec{r}(5)\|=\sqrt{15^{2}+58,75^{2}}.
Explique: a norma de um vetor (x,y) é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Calculamos:
15^{2}=225,\qquad 58,75^{2}=3451,5625,
\|\vec{r}(5)\|=\sqrt{225+3451,5625}=\sqrt{3676,5625}\approx 60,635\\ (\mathrm{m}).
Para o ângulo \varphi medido a partir do eixo x usamos a tangente:
\tan\varphi=\frac{y}{x}=\frac{58,75}{15}=3,916\overline{6}.
Logo
\varphi=\arctan\!\left(3,916\overline{6}\right)\approx 75,66^\circ.
Explique: \arctan dá o ângulo cuja tangente é a razão entre a componente y e a componente x. Como x>0 e y>0, o ângulo fica no primeiro quadrante.

Passo 4

Passamos a velocidade. A velocidade é a derivada temporal do vetor posição: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=(x'(t),y'(t)). Derivamos cada componente:
Derivada de x(t)=0,40t^{3}-3,2t^{2}+6t+15:
x'(t)=3\cdot 0,40\,t^{2}-2\cdot 3,2\,t+6=1,20\,t^{2}-6,4\,t+6.
Derivada de y(t)=-0,25t^{3}+2,4t^{2}+4t+10:
y'(t)=3\cdot(-0,25)\,t^{2}+2\cdot 2,4\,t+4=-0,75\,t^{2}+4,8\,t+4.
Avalie em t=5:
Calcule x'(5):
x'(5)=1,20\cdot 25 - 6,4\cdot 5 + 6 = 30 - 32 + 6 = 4\\ (\mathrm{m/s}).
Calcule y'(5):
y'(5)=-0,75\cdot 25 + 4,8\cdot 5 + 4 = -18,75 + 24 + 4 = 9,25\\ (\mathrm{m/s}).
Portanto
\vec{v}(5)=4\,\hat{\imath}+9,25\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m/s}).

Passo 5

Agora a aceleração: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=(x''(t),y''(t)), derivando as componentes de \vec{v}.
Derivada de x'(t)=1,20\,t^{2}-6,4\,t+6:
x''(t)=2\cdot 1,20\,t - 6,4 = 2,40\,t - 6,4.
Derivada de y'(t)=-0,75\,t^{2}+4,8\,t+4:
y''(t)=2\cdot(-0,75)\,t + 4,8 = -1,50\,t + 4,8.
Avalie em t=5:
Calcule x''(5):
x''(5)=2,40\cdot 5 - 6,4 = 12 - 6,4 = 5,6\\ (\mathrm{m/s^{2}}).
Calcule y''(5):
y''(5)=-1,50\cdot 5 + 4,8 = -7,5 + 4,8 = -2,7\\ (\mathrm{m/s^{2}}).
Logo
\vec{a}(5)=5,6\,\hat{\imath}-2,7\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 6

Agora determinamos o ângulo entre \vec{v}(5) e \vec{a}(5). Usamos o produto escalar: para dois vetores \vec{u} e \vec{w},
\vec{u}\cdot\vec{w}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{w}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Assim
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{w}\|}.
Aplicamos com \vec{u}=\vec{v}(5)=(4,\,9,25) e \vec{w}=\vec{a}(5)=(5,6,\,-2,7).
Calcule o produto escalar:
\vec{v}(5)\cdot\vec{a}(5)=4\cdot 5,6 + 9,25\cdot(-2,7).
Calcule os termos:
4\cdot 5,6 = 22,4,\qquad 9,25\cdot(-2,7) = -24,975.
Soma:
\vec{v}(5)\cdot\vec{a}(5)=22,4 - 24,975 = -2,575.
Calcule as normas:
\|\vec{v}(5)\|=\sqrt{4^{2}+9,25^{2}}=\sqrt{16+85,5625}=\sqrt{101,5625}\approx 10,0779\\ (\mathrm{m/s}).
\|\vec{a}(5)\|=\sqrt{5,6^{2}+(-2,7)^{2}}=\sqrt{31,36+7,29}=\sqrt{38,65}\approx 6,216\\ (\mathrm{m/s^{2}}).
Calcule \cos\theta:
\cos\theta=\frac{-2,575}{10,0779\cdot 6,216}\approx\frac{-2,575}{62,644}\approx -0,0411.
Finalmente o ângulo:
\theta=\operatorname{arccos}(-0,0411)\approx 92,36^\circ.
Interpretação rápida: o cosseno negativo indica que o ângulo é maior que 90^\circ, ou seja, \vec{v} e \vec{a} formam um ângulo obtuso (aceleração tem componente oposta à velocidade neste instante).

Passo 7

Determinamos o ângulo de inclinação da trajetória \theta_{T}. Por definição, \theta_{T} é o ângulo que o vetor velocidade \vec{v} faz com o eixo x. Para um vetor (v_x,v_y),
\tan\theta_{T}=\frac{v_{y}}{v_{x}}.
Aqui v_{x}=4 e v_{y}=9,25. Então
\tan\theta_{T}=\frac{9,25}{4}=2,3125,
\theta_{T}=\arctan(2,3125)\approx 66,53^\circ.
Explique: usamos \arctan porque a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente; no plano, isso corresponde a \dfrac{v_{y}}{v_{x}}. Como v_{x}>0, o ângulo está entre -90^\circ e 90^\circ e neste caso é positivo (primeiro quadrante).

Resposta

(a) \vec{r}(5)=15\,\hat{\imath}+58,75\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m})
(a, módulo‑ângulo) \|\vec{r}(5)\|\approx 60,635\\ \mathrm{m},\quad \varphi\approx 75,66^\circ
(b) \vec{v}(5)=4\,\hat{\imath}+9,25\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m/s})
(b) \vec{a}(5)=5,6\,\hat{\imath}-2,7\,\hat{\jmath}\\ (\mathrm{m/s^{2}})
(c) Ângulo entre \vec{v}(5) e \vec{a}(5): \theta\approx 92,36^\circ
(d) Ângulo de inclinação da trajetória: \theta_{T}=\arctan\!\left(\dfrac{9,25}{4}\right)\approx 66,53^\circ

Exercícios relacionados