Considere o movimento retilíneo de uma partícula \operatorname{com} x(0)=0, descrito pelos trechos do gráfico v(t) abaixo. Faça o gráfico e responda:
Trecho 1: 0 \leq t \leq 3 \mathrm{~s} \quad a_{1}=+4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad v(t)=4 t (vai de 0 a 12 ).
Trecho 2: 3 \leq t \leq 6 \mathrm{~s} \quad v(t)=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}(\mathrm{MRU}).
Trecho 3: 6 \leq t \leq 10 \mathrm{~s} \quad a_{3}=-6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad v(t)=12-6(t-6).
Observação: cruza v=0 em t=8 \mathrm{~s} (única inversão de sentido).
(a) Encontre a aceleração instantânea em t=\{2,4,9\} \mathrm{s}.
(b) Determine os instantes de mudança de sentido e em quais intervalos a partícula se move no sentido positivo e no sentido negativo.
(c) Calcule o deslocamento total \Delta x no intervalo 0 \leq t \leq 10 \mathrm{~s}.
(d) Calcule a distância total percorrida D no mesmo intervalo.
(e) Encontre a velocidade média e a velocidade escalar média em [0, 10] s. Explique por que são diferentes.
(f) Obtenha a posição x(t) por trechos, com x(0)=0, assegurando continuidade em t=3 e t=6.
(g) Indique se x(t) possui máximo ou mínimo em t=8 \mathrm{~s}. Justifique pelo sinal de v antes/depois.

Passo 1

O enunciado descreve o movimento retilíneo de uma partícula com condição inicial x(0)=0 e dá o gráfico/expressão da velocidade por trechos:
  • Trecho 1: 0\le t\le 3 s, a_{1}=+4\\ \mathrm{m/s^{2}} e v(t)=4t. (vai de v(0)=0 a v(3)=12 m/s)
  • Trecho 2: 3\le t\le 6 s, v(t)=12\\ \mathrm{m/s} (MRU).
  • Trecho 3: 6\le t\le 10 s, a_{3}=-6\\ \mathrm{m/s^{2}} e v(t)=12-6(t-6). Observação: cruza v=0 em t=8 s (única inversão de sentido).
Perguntas a responder:
(a) Aceleração instantânea em t=\{2,4,9\}\\ \mathrm{s}.
(b) Instantes de mudança de sentido e intervalos em que a partícula se move no sentido positivo/negativo.
(c) Deslocamento total \Delta x em 0\le t\le 10 s.
(d) Distância total percorrida D no mesmo intervalo.
(e) Velocidade média e velocidade escalar média em [0,10] s e por que diferem.
(f) Expressão de x(t) por trechos com x(0)=0 e continuidade em t=3 e t=6.
(g) Indicar se x(t) tem máximo ou mínimo em t=8 s, justificando pelo sinal de v antes/depois.

Passo 2

Como visualizar o gráfico de v(t) (instrução para esboçar):
  • Para 0\le t\le 3: reta que parte de (0,0) e sobe linearmente até (3,12) porque v(t)=4t.
  • Para 3\le t\le 6: linha horizontal em v=12 de t=3 a t=6.
  • Para 6\le t\le 10: reta decrescente dada por v(t)=12-6(t-6). Avaliando: v(6)=12, v(8)=0 (zera) e v(10)=-12. Então a reta passa por (6,12), cruza o eixo v=0 em t=8 e chega em (10,-12).
  • No esboço marque pontos chave: (0,0), (3,12), (6,12), (8,0), (10,-12). Ligue com retas conforme as fórmulas.

Passo 3

Conceito e cálculo da aceleração instantânea: a aceleração instantânea a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Em trechos onde v(t) é uma função linear em t, a é constante e igual ao coeficiente angular dessa reta.
  • Para 0\le t\le 3: v(t)=4t então \dfrac{dv}{dt}=4. Logo a(t)=4\\ \mathrm{m/s^{2}} nesse trecho.
  • Para 3\le t\le 6: v(t)=12 constante, então \dfrac{dv}{dt}=0. Logo a(t)=0\\ \mathrm{m/s^{2}} nesse trecho.
  • Para 6\le t\le 10: v(t)=12-6(t-6). Simplificando, v(t)=48-6t. Então \dfrac{dv}{dt}=-6. Logo a(t)=-6\\ \mathrm{m/s^{2}} nesse trecho.
Agora avalio nos instantes pedidos:
  • t=2 está no trecho 1, então a(2)=+4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • t=4 está no trecho 2, então a(4)=0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • t=9 está no trecho 3, então a(9)=-6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Mudança de sentido e intervalos de movimento positivo/negativo:
  • Uma mudança de sentido ocorre quando a velocidade muda de sinal (cruza v=0). Pelos cálculos/observação do gráfico, v=0 em t=0 e em t=8. Em t=0 é apenas o início do movimento (partida do repouso); a única inversão de sentido no intervalo considerado é em t=8 (indicada no enunciado).
  • Sinal de v:
    • Para 0<t<8 temos v(t)>0 (porque nos trechos 0–3 e 3–6 v\ge 0 e em 6–8 a reta decresce de 12 para 0, mas permanece positiva). Portanto a partícula se move no sentido positivo em 0<t<8.
    • Em t=8 a velocidade é zero (momento de inversão).
    • Para 8<t\le 10 temos v(t)<0 (reta decresce abaixo de zero), então a partícula se move no sentido negativo nesse intervalo.
  • Resumo: única mudança de sentido em t=8 s; sentido positivo para 0<t<8; sentido negativo para 8<t\le 10. Em t=0 e t=8 a partícula está instantaneamente parada.

Passo 5

Cálculo do deslocamento total \Delta x em 0\le t\le 10: o deslocamento vetorial é a integral de v(t) de 0 a 10, ou geometricamente a soma algébrica das áreas sob o gráfico v(t).
Faço por trechos.
Trecho 1 ( 0\to 3):
\Delta x_{0\to3}=\int_{0}^{3}4t\,dt =\left[2t^{2}\right]_{0}^{3}=2\cdot 3^{2}-0=18\\ \mathrm{m}.
Trecho 2 ( 3\to 6):
\Delta x_{3\to6}=\int_{3}^{6}12\,dt =12\cdot(6-3)=12\cdot 3=36\\ \mathrm{m}.
Trecho 3 ( 6\to 10), usando v(t)=48-6t:
\Delta x_{6\to10}=\int_{6}^{10}(48-6t)\,dt =\left[48t-3t^{2}\right]_{6}^{10}.
Calculo os valores:
\left.48t-3t^{2}\right|_{t=10}=480-300=180, \quad \left.48t-3t^{2}\right|_{t=6}=288-108=180,
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\Delta x_{6\to10}=180-180=0\\ \mathrm{m}.
Observação geométrica: área positiva de 6 a 8 (triângulo de base 2 e altura 12 12 m) e área negativa de igual magnitude de 8 a 10 (triângulo de base 2 e altura -12 -12 m), que se cancelam.
Somando:
\Delta x=\Delta x_{0\to3}+\Delta x_{3\to6}+\Delta x_{6\to10}=18+36+0=54\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo da distância total percorrida D: aqui somamos as distâncias (valores absolutos das áreas), ou seja, tratamos qualquer deslocamento retrogrado como positivo.
  • Distância em 0\to3: 18\\ \mathrm{m} (positivo).
  • Distância em 3\to6: 36\\ \mathrm{m}.
  • Distância em 6\to8: área positiva (triângulo) = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 12 =12\\ \mathrm{m}.
  • Distância em 8\to10: área em módulo = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 12 =12\\ \mathrm{m}.
Somando:
D=18+36+12+12=78\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Velocidade média vetorial e velocidade escalar média (magnitude média de velocidade):
  • Velocidade média vetorial (média sensível à direção) é
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{54\\ \mathrm{m}}{10\\ \mathrm{s}}=5{,}4\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade escalar média (média de rapidez) é distância total dividida pelo tempo:
\bar{v}_{\text{esc}}=\frac{D}{\Delta t}=\frac{78\\ \mathrm{m}}{10\\ \mathrm{s}}=7{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Por que são diferentes? Porque \bar{v} considera deslocamento vetorial (soma algébrica) e, quando há movimento em sentidos opostos, partes se cancelam, reduzindo \Delta x. Já \bar{v}_{\text{esc}} soma todas as parcelas percorridas em módulo (ignorando o sentido), então não há cancelamento e geralmente resulta em valor maior sempre que há inversões de sentido.

Passo 8

Encontrar x(t) por trechos integrando a velocidade e impondo x(0)=0 e continuidade em t=3,6.
Trecho 1 ( 0\le t\le 3), v(t)=4t:
x(t)=\int_{0}^{t}4s\,ds=2t^{2} \quad\text{(porque }x(0)=0\text{)}.
Verificação: x(3)=2\cdot 3^{2}=18 m.
Trecho 2 ( 3\le t\le 6), v(t)=12. Integro tomando constante de integração para garantir continuidade em t=3:
x(t)=x(3)+\int_{3}^{t}12\,ds=18+12(t-3).
Simplificando:
x(t)=12t-18 \quad\text{para }3\le t\le 6.
Verificação: x(6)=12\cdot 6-18=72-18=54 m.
Trecho 3 ( 6\le t\le 10), v(t)=48-6t. Integro a partir de t=6 com x(6)=54:
x(t)=x(6)+\int_{6}^{t}(48-6s)\,ds =54+\left[48s-3s^{2}\right]_{6}^{t}.
Calculo:
x(t)=54+(48t-3t^{2})-(48\cdot 6-3\cdot 6^{2}) =54+(48t-3t^{2})-(288-108).
Como 288-108=180, obtemos
x(t)=54+48t-3t^{2}-180= -3t^{2}+48t-126.
Portanto, resumo das expressões:
  • Para 0\le t\le 3: \displaystyle x(t)=2t^{2}.
  • Para 3\le t\le 6: \displaystyle x(t)=12t-18.
  • Para 6\le t\le 10: \displaystyle x(t)=-3t^{2}+48t-126.
Checagens rápidas: x(0)=0; x(3)=18; x(6)=54; x(10)=-300+480-126=54 (coerente com \Delta x=54).

Passo 9

Máximo ou mínimo em t=8 s?
  • Observação do sinal de v: imediatamente antes de t=8 (por exemplo em t=7{,}9 ou entre 6 e 8) temos v>0 (posição aumentando). Imediatamente depois de t=8 (por exemplo em t=8{,}1) temos v<0 (posição diminuindo). Quando a derivada v(t) muda de positiva para negativa, a função x(t) passa por um máximo local.
  • Logo x(t) tem um máximo local em t=8 s. Podemos calcular o valor: usando a expressão do trecho 3,
x(8)=-3\cdot 8^{2}+48\cdot 8-126=-3\cdot 64+384-126=-192+384-126=66\\ \mathrm{m}.
Conclusão: x(t) atinge um máximo local em t=8 s, com x(8)=66\\ \mathrm{m}, porque v passa de positiva para negativa nesse instante.

Resposta

(a) a(2)=4\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad a(4)=0\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad a(9)=-6\\ \mathrm{m/s^{2}}\). (b) Mudança de sentido em \(t=8\\ \mathrm{s}\). Movimento no sentido positivo para \(0<t<8\) e no sentido negativo para \(8<t\le 10\) (em \(t=0\) e \(t=8\) a partícula está instantaneamente parada). \text{(c)} \(\Delta x=54\\ \mathrm{m}\). (d) \(D=78\\ \mathrm{m}\). (e) \(\bar{v}=\dfrac{\Delta x}{10}=5{,}4\\ \mathrm{m/s},\quad \bar{v}_{\text{esc}}=\dfrac{D}{10}=7{,}8\\ \mathrm{m/s}\). Diferem porque \(\bar{v}\) usa deslocamento vetorial (cancelamento por movimento retrógrado) e \(\bar{v}_{\text{esc}}\) usa distância total (sempre positiva). (f) \(x(t)=\begin{cases}2t^{2}, & 0\le t\le 3,\\[4pt]12t-18, & 3\le t\le 6,\\[4pt]-3t^{2}+48t-126, & 6\le t\le 10.\end{cases}
(g) x(t) tem um máximo em t=8\\ \mathrm{s} (porque v passa de positiva para negativa); valor x(8)=66\\ \mathrm{m}.]

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