- Moléculas de massa
e velocidade
exercem uma pressão
nos muros de um recipiente. Se metade das moléculas são substituidas por outras de massa
e velocidade
, a pressão aumentará, diminuirá ou permanecerá constante?
resposta
aumentará
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Existem moléculas originais de massa
, e velocidade (módulo) . - Essas moléculas exercem uma pressão
nos muros do recipiente. - Metade das moléculas é substituída por outras de massa
, e velocidade . - Presume-se que o número total de moléculas e o volume do recipiente permanecem os mesmos (ou seja, foi apenas feita a substituição de metade das partículas, mantendo a densidade numérica total).
- Existem moléculas originais de massa
-
Pergunta:
- A pressão resultante aumentará, diminuirá ou permanecerá constante?
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem resolver ainda).
- Para responder precisamos relacionar pressão com as propriedades microscópicas das moléculas (massa, velocidade, número por volume). A maneira mais direta e básica de fazer isso é usar a fórmula da teoria cinética dos gases que liga pressão com a média do quadrado das velocidades das partículas.
- Vou usar essa fórmula porque ela é simples, exige apenas contagem de partículas e médias de velocidades, e permite aplicar diretamente os dados do enunciado (metade com um tipo, metade com outro).
- A fórmula central que vamos usar e justificar é
onde explicarei cada símbolo e de onde vem essa expressão no passo seguinte.
Passo 3
Derivação e explicação didática da fórmula
.
-
O que é cada símbolo:
-
é a pressão média exercida pelas moléculas nas paredes. -
é a densidade numérica, isto é, o número de moléculas por unidade de volume: . -
é a massa de cada molécula (quando as moléculas têm massas diferentes, a média que entra será explicada adiante). -
é a média do quadrado da velocidade das moléculas (média sobre todas as moléculas do sistema).
-
-
Ideia física simples (passo a passo, sem pular):
- Considere paredes planas e colisões elásticas das moléculas com a parede. Quando uma molécula de massa
com componente de velocidade na direção igual a bate e se reflete, sua variação de momento na direção é . - Se uma molécula atinge a parede, o número de colisões por unidade de tempo por essa molécula é proporcional à sua componente de velocidade para a parede. Em média, ao pensar em muitas moléculas isotrópicas, o fluxo de colisões por área leva a uma força por unidade de área que, somando sobre todas as moléculas e dividindo pelo volume, resulta em
Aqui é a média do quadrado da componente da velocidade. - Para um gás isotrópico (direções equivalentes), as três componentes têm médias iguais:
- Substituindo isso na expressão anterior obtemos a forma usada:
- Considere paredes planas e colisões elásticas das moléculas com a parede. Quando uma molécula de massa
-
Observação: se as partículas não forem todas idênticas, o termo
deve ser interpretado como a média sobre as partículas de , isto é Em seguida.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao estado inicial (antes da substituição).
- Se todas as moléculas têm massa
e velocidade (módulo) , então e a média . - Portanto a pressão inicial é
Passo 5
Calcular a nova pressão após substituir metade das moléculas por outras de massa
e velocidade
.
- Vamos usar a expressão com média de
sobre todas as partículas. Se metade das partículas (fração ) são do tipo A: e a outra metade do tipo B: , então a média vale - Calculemos o segundo termo com calma:
Multiplicando pela fração dessa classe de moléculas: - Agora some os dois contribuintes:
- Assim a nova pressão
será - Mas
é precisamente a pressão inicial . Logo - Conclusão matemática: a pressão aumenta, ficando
maior (multiplicada por ).
Passo 6
Interpretação física intuitiva e motivação para lembrar na prova.
- Intuitivamente: cada partícula do tipo B tem massa menor (
) mas velocidade dobrada ( ). O momento linear por partícula fica igual entre A e B (pois ), mas as partículas B colidem com a parede mais frequentemente porque têm velocidade maior — isso aumenta a taxa de troca de momento por unidade de tempo. Além disso, a energia cinética de cada partícula B é maior: ou seja, cada B tem o dobro da energia cinética de uma A. Esses efeitos combinados elevam a pressão. - Dica para prova: quando vir mistura de partículas diferentes, lembre que a pressão depende de
. Calcule a média ponderada de pelas frações das partículas.
Resposta
aumentará