1. Moléculas de massa m e velocidade v exercem uma pressão p nos muros de um recipiente. Se metade das moléculas são substituidas por outras de massa \frac{1}{2} m e velocidade 2 v, a pressão aumentará, diminuirá ou permanecerá constante? \boldsymbol{(} resposta = aumentará )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Existem moléculas originais de massa \,m, e velocidade (módulo) \,v.
    • Essas moléculas exercem uma pressão \,p nos muros do recipiente.
    • Metade das moléculas é substituída por outras de massa \,\tfrac{1}{2}m, e velocidade \,2v.
    • Presume-se que o número total de moléculas e o volume do recipiente permanecem os mesmos (ou seja, foi apenas feita a substituição de metade das partículas, mantendo a densidade numérica total).
  • Pergunta:
    • A pressão resultante aumentará, diminuirá ou permanecerá constante?

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem resolver ainda).
  • Para responder precisamos relacionar pressão com as propriedades microscópicas das moléculas (massa, velocidade, número por volume). A maneira mais direta e básica de fazer isso é usar a fórmula da teoria cinética dos gases que liga pressão com a média do quadrado das velocidades das partículas.
  • Vou usar essa fórmula porque ela é simples, exige apenas contagem de partículas e médias de velocidades, e permite aplicar diretamente os dados do enunciado (metade com um tipo, metade com outro).
  • A fórmula central que vamos usar e justificar é p = \frac{1}{3}\, n\, m\, \langle v^{2}\rangle,onde explicarei cada símbolo e de onde vem essa expressão no passo seguinte.

Passo 3

Derivação e explicação didática da fórmula p=\dfrac{1}{3}n m\langle v^2\rangle.
  • O que é cada símbolo:
    • p é a pressão média exercida pelas moléculas nas paredes.
    • n é a densidade numérica, isto é, o número de moléculas por unidade de volume: n=\dfrac{N}{V}.
    • m é a massa de cada molécula (quando as moléculas têm massas diferentes, a média que entra será explicada adiante).
    • \langle v^{2}\rangle é a média do quadrado da velocidade das moléculas (média sobre todas as moléculas do sistema).
  • Ideia física simples (passo a passo, sem pular):
    1. Considere paredes planas e colisões elásticas das moléculas com a parede. Quando uma molécula de massa m com componente de velocidade na direção x igual a v_x bate e se reflete, sua variação de momento na direção x é \Delta p_x = -m v_x - (m(-v_x)) = 2 m v_x.
    2. Se uma molécula atinge a parede, o número de colisões por unidade de tempo por essa molécula é proporcional à sua componente de velocidade para a parede. Em média, ao pensar em muitas moléculas isotrópicas, o fluxo de colisões por área leva a uma força por unidade de área que, somando sobre todas as moléculas e dividindo pelo volume, resulta em p = \frac{N}{V} m \langle v_x^2 \rangle = n m \langle v_x^2 \rangle.Aqui \langle v_x^2 \rangle é a média do quadrado da componente x da velocidade.
    3. Para um gás isotrópico (direções equivalentes), as três componentes têm médias iguais: \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3}\langle v^2 \rangle.
    4. Substituindo isso na expressão anterior obtemos a forma usada: p = n m \langle v_x^2 \rangle = n m \frac{1}{3}\langle v^2 \rangle = \frac{1}{3}\, n\, m\, \langle v^2\rangle.
  • Observação: se as partículas não forem todas idênticas, o termo m\langle v^2\rangle deve ser interpretado como a média sobre as partículas de m_i v_i^2, isto é
    \text{média relevante} = \left\langle m v^2\right\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N m_i v_i^2.é
    Em seguida p = \dfrac{1}{3} n \left\langle m v^2\right\rangle.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao estado inicial (antes da substituição).
  • Se todas as moléculas têm massa m e velocidade (módulo) v, então \langle v^2\rangle = v^2 e a média \langle m v^2\rangle = m v^2.
  • Portanto a pressão inicial é p = \frac{1}{3}\, n\, m\, v^2.

Passo 5

Calcular a nova pressão após substituir metade das moléculas por outras de massa \tfrac{1}{2}m e velocidade 2v.
  • Vamos usar a expressão com média de m v^2 sobre todas as partículas. Se metade das partículas (fração 1/2) são do tipo A: (m, v) e a outra metade do tipo B: (\tfrac{1}{2}m, 2v), então a média \langle m v^2\rangle vale \left\langle m v^2\right\rangle = \frac{1}{2}\, (m v^2) + \frac{1}{2}\,\biggl(\frac{1}{2}m\,(2v)^2\biggr).
  • Calculemos o segundo termo com calma: \frac{1}{2}m\,(2v)^2 = \frac{1}{2}m \cdot 4v^2 = 2 m v^2.Multiplicando pela fração 1/2 dessa classe de moléculas: \frac{1}{2}\cdot 2 m v^2 = m v^2.
  • Agora some os dois contribuintes: \left\langle m v^2\right\rangle = \frac{1}{2} m v^2 + m v^2 = \frac{3}{2} m v^2.
  • Assim a nova pressão p' será p' = \frac{1}{3}\, n\, \left\langle m v^2\right\rangle = \frac{1}{3}\, n\, \frac{3}{2} m v^2 = \frac{3}{2}\,\left(\frac{1}{3} n m v^2\right).
  • Mas \dfrac{1}{3} n m v^2 é precisamente a pressão inicial p. Logo p' = \frac{3}{2}\, p.
  • Conclusão matemática: a pressão aumenta, ficando 50\% maior (multiplicada por \tfrac{3}{2}).

Passo 6

Interpretação física intuitiva e motivação para lembrar na prova.
  • Intuitivamente: cada partícula do tipo B tem massa menor ( \tfrac{1}{2}m) mas velocidade dobrada ( 2v). O momento linear por partícula m v fica igual entre A e B (pois \tfrac{1}{2}m \cdot 2v = m v), mas as partículas B colidem com a parede mais frequentemente porque têm velocidade maior — isso aumenta a taxa de troca de momento por unidade de tempo. Além disso, a energia cinética de cada partícula B é maior: \text{KE}_A=\tfrac{1}{2}m v^2,\qquad \text{KE}_B=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}m\right)(2v)^2 = m v^2,ou seja, cada B tem o dobro da energia cinética de uma A. Esses efeitos combinados elevam a pressão.
  • Dica para prova: quando vir mistura de partículas diferentes, lembre que a pressão depende de \langle m v^2\rangle. Calcule a média ponderada de m v^2 pelas frações das partículas.

Resposta

aumentará \;(\,p'=\tfrac{3}{2}p\,)

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