Questão 7 - Suponha que você precise de revestimento de ródio (um metal precioso) em uma pę̧a que será usada como espelho em um laser. Uma vez que o ródio é tāo caro, você deseja depositar apenas 4,5 \mathrm{mg} na superfície da peça. Se você fizer um aparelho eletrolitico funcionar por 5,0 \mathrm{~min}, de qual corrente precisará para depositar a quantidade desejada de uma soluçâo que contém ions \mathrm{Rh}^{3+\eta} ? (12,0 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: massa de ródio a depositar \,m=4{,}5\\ \mathrm{mg}.
  • Dado: tempo de eletrólise \,t=5{,}0\\ \mathrm{min}.
  • Dado: o íon na solução é \mathrm{Rh}^{3+} (cada íon precisa de 3 elétrons para virar metal).
  • Pedido: calcular a corrente elétrica I necessária para depositar a massa desejada nessas condições.

Passo 2

Plano geral (resumido e sem entrar ainda em contas): para encontrar a corrente precisamos saber a carga elétrica total Q necessária para reduzir a quantidade de \mathrm{Rh}^{3+} correspondente a \,m. A relação entre carga e quantidade de substância usa a estequiometria da redução e a constante de Faraday F (carga por mol de elétrons). Depois I=Q/t. A seguir eu explico cada conceito e uso as fórmulas passo a passo.

Passo 3

Converter unidades e calcular a quantidade de mols de ródio a depositar.
  • Converter massa para gramas:
m = 4{,}5\\ \mathrm{mg} = 4{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{g}.
  • Molaridade do ródio (massa molar): usar massa atômica do ródio \,M_{\mathrm{Rh}} \approx 102{,}91\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} (valor da tabela periódica).
  • Número de mols de \mathrm{Rh} a depositar:
n_{\mathrm{Rh}}=\frac{m}{M_{\mathrm{Rh}}} =\frac{4{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{g}}{102{,}91\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}.
Agora calcular numericamente:
n_{\mathrm{Rh}} \approx 4{,}37\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
Comentário didático: essa conta é só dividir a massa dada pela massa de uma mole do elemento — assim se obtém quantas moles serão depositadas.

Passo 4

Relacionar o número de elétrons necessários com os mols de ródio (estequiometria da meia-reação).
  • Redução de \mathrm{Rh}^{3+} para \mathrm{Rh}^0 precisa de z=3 elétrons por átomo:
\mathrm{Rh}^{3+} + 3\\ e^- \longrightarrow \mathrm{Rh}.
  • Portanto o número de mols de elétrons necessários é
n_{e^-} = z\cdot n_{\mathrm{Rh}} = 3 \cdot n_{\mathrm{Rh}}.
Substituindo o valor de n_{\mathrm{Rh}}:
n_{e^-} \approx 3 \cdot 4{,}37\times10^{-5} = 1{,}31\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ e^-}.
Didática: pense que cada mol de elétrons transporta certa carga total; como cada átomo de Rh precisa de 3 elétrons, multiplicamos por 3.

Passo 5

Usar a constante de Faraday para transformar mols de elétrons em carga elétrica.
  • A constante de Faraday é a carga por mol de elétrons:
F \approx 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}.
  • A carga total necessária é
Q = n_{e^-}\,F.
Substituindo:
Q \approx 1{,}31\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\cdot 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}} \approx 12{,}65\\ \mathrm{C}.
Explicação: F diz quantos coulombs existem em uma mole de elétrons; multiplicando pelos mols de elétrons dá a carga total que precisa passar pelo circuito para depositar a massa desejada.

Passo 6

Converter o tempo para segundos e calcular a corrente média necessária.
  • Converter tempo:
t = 5{,}0\\ \mathrm{min} = 5{,}0\times60\\ \mathrm{s} = 300\\ \mathrm{s}.
  • A corrente média é definida por I = Q/t. Logo
I = \frac{Q}{t} \approx \frac{12{,}65\\ \mathrm{C}}{300\\ \mathrm{s}} \approx 0{,}0422\\ \mathrm{A}.
  • Converter para miliampères (útil na prática):
I \approx 42{,}2\\ \mathrm{mA}.
Didática e dica para prova: dá para combinar as fórmulas e obter uma expressão direta
I=\frac{z F m}{M_{\mathrm{Rh}} t},
onde z é o número de elétrons por átomo ( =3), F é a constante de Faraday, m é a massa a depositar, M_{\mathrm{Rh}} a massa molar, e t o tempo em segundos. Essa fórmula é prática para cálculos rápidos.

Passo 7

Arredondamento e apresentação do resultado final com algarismos significativos.
  • Os dados fornecidos têm duas casas significativas ( 4{,}5\\ \mathrm{mg}, 5{,}0\\ \mathrm{min}), então o resultado final deve ser dado com duas casas significativas.
  • Assim:
I \approx 4{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{A} = 42\\ \mathrm{mA}.
Força extra de ânimo: deu trabalho, mas o procedimento é sempre o mesmo em eletrólise — transformar massa em mol, usar a estequiometria para achar mols de elétrons, aplicar F para obter carga e dividir por tempo para achar corrente. Com essa receita você resolve qualquer questão parecida!

Resposta

\,I\approx4{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{A}=42\\ \mathrm{mA}

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