1. Em qual pressão o livre caminho médio do argônio a 25^{\circ} \mathrm{C} se torna comparável ao diâmetro de seus próprios átomos? Considere o raio do argônio como 0,17 \mathrm{~nm}. Resposta =2,4 \times 10^{7} \mathrm{~Pa} ou 240 atm .

Passo 1

O que o problema pede e os dados que nos deram:
  • Pergunta: determinar a pressão na qual o livre caminho médio do argônio a 25^\circ\mathrm{C} se torna comparável ao diâmetro dos seus átomos (ou seja, \lambda \approx d).
  • Dados fornecidos:
    • raio do átomo de argônio: r=0,17\\ \mathrm{nm}.
    • temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (vou converter para kelvin mais adiante).
  • Constantes físicas que vamos usar:
    • constante de Boltzmann: k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • pressão de 1\\ \mathrm{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (para converter no final).

Passo 2

O que é o livre caminho médio e a fórmula que usamos:
  • O livre caminho médio \lambda é a distância média que uma partícula (átomo/molécula) percorre entre colisões. Para um gás de partículas esféricas indistinguíveis, uma fórmula padrão da teoria cinética é
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde:
  • \lambda é o livre caminho médio (m),
  • n é a densidade numérica (número de partículas por volume, em \mathrm{m^{-3}}),
  • \sigma é a seção de choque efetiva entre dois átomos (em \mathrm{m^2}),
  • o fator \sqrt{2} aparece porque consideramos colisões entre pares de partículas com movimento relativo.
  • A seção de choque para esferas de diâmetro d costuma ser aproximada por
\sigma=\pi d^{2},
com d em metros.

Passo 3

Relacionando n com p usando a lei dos gases perfeitos:
  • Para um gás ideal a temperatura T e pressão p, a densidade numérica é
n=\frac{p}{k_B T},
onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura em kelvin.
  • Substituindo n na expressão de \lambda obtemos
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\left(\dfrac{p}{k_B T}\right)\sigma} =\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}.
Aqui expliquei cada variável: \lambda (m), k_B (J/K), T (K), p (Pa), \sigma ( \mathrm{m^2}).

Passo 4

Condição pedida ( \lambda comparável ao diâmetro) e expressão para p:
  • Queremos \lambda\approx d. Substituindo na última fórmula:
d=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}\quad\Rightarrow\quad p=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,d\,\sigma}.
  • Usando \sigma=\pi d^{2} isto simplifica para
p=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi\,d^{3}}.
Essa expressão é conveniente porque só depende de k_B, T e do diâmetro d.

Passo 5

Converter o raio em diâmetro e para unidades SI:
  • Diâmetro do átomo:
d=2r=2\times0,17\\ \mathrm{nm}=0,34\\ \mathrm{nm}.
  • Em metros:
d=0,34\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=3,4\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura em kelvin:
T=25^\circ\mathrm{C}=25+273,15=298,15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular d^{2} e d^{3} (formas úteis para os próximos passos):
  • d^{2}=(3,4\times10^{-10})^{2}= (3,4)^{2}\times10^{-20}=11,56\times10^{-20}=1,156\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • d^{3}=d^{2}\cdot d=(1,156\times10^{-19})\times(3,4\times10^{-10})=3,9304\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 7

Calcular numericamente os termos de cima ( k_B T) e de baixo ( \sqrt{2}\,\pi\,d^{3}) da expressão de p:
  • Numerador:
k_B T=(1,380649\times10^{-23})\times(298,15) \approx4,1164\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
(Explicação: multiplicar a constante de Boltzmann pela temperatura dá energia térmica por partícula.)
  • Denominador:
    • Primeiro calcule \sqrt{2}\,\pi:
    \sqrt{2}\,\pi\approx1,41421356\times3,14159265\approx4,44288294.
    • Então
    \sqrt{2}\,\pi\,d^{3}\approx4,44288294\times3,9304\times10^{-29} \approx1,7470\times10^{-28}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 8

Dividir numerador pelo denominador para obter a pressão:
  • Usando
p=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi\,d^{3}},
substituímos os valores numéricos:
p\approx\frac{4,1164\times10^{-21}}{1,7470\times10^{-28}} \approx2,356\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
  • Arredondando de forma prática (duas cifras significativas), isso dá
p\approx2,4\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 9

Converter a pressão para atmosferas e comentar o arredondamento:
  • Converter para atm:
p_{\text{atm}}=\frac{p}{1,01325\times10^{5}} \approx\frac{2,356\times10^{7}}{1,01325\times10^{5}} \approx232,6\\ \text{atm}.
  • Arredondando grosseiramente para um valor fácil de lembrar obtemos cerca de 240\\ \text{atm}. A diferença vem de arredondamentos intermediários (usos de poucas casas em d, aproximações de \pi e \sqrt{2}, e no arredondamento final).

Resposta

2,4\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}
240\\ \text{atm}

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