- Em qual pressão o livre caminho médio do argônio a
se torna comparável ao diâmetro de seus próprios átomos? Considere o raio do argônio como
. Resposta
ou 240 atm .
Passo 1
O que o problema pede e os dados que nos deram:
- Pergunta: determinar a pressão na qual o livre caminho médio do argônio a
se torna comparável ao diâmetro dos seus átomos (ou seja, ). - Dados fornecidos:
- raio do átomo de argônio:
. - temperatura:
(vou converter para kelvin mais adiante).
- raio do átomo de argônio:
- Constantes físicas que vamos usar:
- constante de Boltzmann:
. - pressão de
(para converter no final).
- constante de Boltzmann:
Passo 2
O que é o livre caminho médio e a fórmula que usamos:
- O livre caminho médio
é a distância média que uma partícula (átomo/molécula) percorre entre colisões. Para um gás de partículas esféricas indistinguíveis, uma fórmula padrão da teoria cinética é
onde:
-
é o livre caminho médio (m), -
é a densidade numérica (número de partículas por volume, em ), -
é a seção de choque efetiva entre dois átomos (em ), -
o fator
aparece porque consideramos colisões entre pares de partículas com movimento relativo. -
A seção de choque para esferas de diâmetro
costuma ser aproximada por
com
em metros.
Passo 3
Relacionando
com
usando a lei dos gases perfeitos:
- Para um gás ideal a temperatura
e pressão , a densidade numérica é
onde
é a constante de Boltzmann e
a temperatura em kelvin.
- Substituindo
na expressão de obtemos
Aqui expliquei cada variável:
(m),
(J/K),
(K),
(Pa),
(
).
Passo 4
Condição pedida (
comparável ao diâmetro) e expressão para
:
- Queremos
. Substituindo na última fórmula:
- Usando
isto simplifica para
Essa expressão é conveniente porque só depende de
,
e do diâmetro
.
Passo 5
Converter o raio em diâmetro e para unidades SI:
- Diâmetro do átomo:
- Em metros:
- Temperatura em kelvin:
Passo 6
Calcular
e
(formas úteis para os próximos passos):
Passo 7
Calcular numericamente os termos de cima (
) e de baixo (
) da expressão de
:
- Numerador:
(Explicação: multiplicar a constante de Boltzmann pela temperatura dá energia térmica por partícula.)
- Denominador:
- Primeiro calcule
:
- Então
- Primeiro calcule
Passo 8
Dividir numerador pelo denominador para obter a pressão:
- Usando
substituímos os valores numéricos:
- Arredondando de forma prática (duas cifras significativas), isso dá
Passo 9
Converter a pressão para atmosferas e comentar o arredondamento:
- Converter para atm:
- Arredondando grosseiramente para um valor fácil de lembrar obtemos cerca de
. A diferença vem de arredondamentos intermediários (usos de poucas casas em , aproximações de e , e no arredondamento final).