Um moleque atira uma pedra para cima na direção vertical, com uma velocidade inicial de 12 m / s do telhado de um edifício, 30 m acima do chão. © Em que (quais) instante(s) a pedra estará 5 m acima do ponto de lançamento e qual a sua velocidade nesse(s) instante(s)?

Passo 1

Beleza, o problema diz que um garoto lança uma pedra pra cima, verticalmente, com velocidade inicial de y(t) = y0 + v0,t - tfrac12 g,t^2 , a partir de um prédio 30 m acima do chão. A parte © quer saber em que instante(s) a pedra está exatamente 5 m acima do ponto de lançamento (ou seja, deslocamento v(t) = v0 - g,t, m) e qual é a velocidade dela nesses instantes.
Conteúdo: cinemática escalar (movimento uniformemente variado, MUV). Vamos precisar da equação do espaço
e da equação da velocidade
além de resolver uma equação quadrática (Bhaskara).

Passo 2

Primeiro, definimos o referencial: tomamos y(t) = 0 + 12,t - tfrac12,(9,8),t^2 = 12t - 4,9,t^2 no ponto de lançamento, sentido para cima como positivo. Então
  • m/s
  • A gravidade é m/s² atuando para baixo (por isso o sinal “–” na equação).
A equação do espaço fica então

Passo 3

Queremos 12t - 4,9,t^2 = 5 m. Então montamos a equação
-4,9,t^2 + 12,t - 5 = 0 Longrightarrow 4,9,t^2 -12,t +5 = 0
Reescrevendo tudo num formato padrão de equação do segundo grau:

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
t = ,12 pm raiz(-12)^2 -4cdot4,9cdot5,2cdot4,9 = 12 pm raiz144 -989,8 = 12 pm raiz469,8
Calculando numericamente:
raiz46approx6,782, t1 = 12 -6,7829,8approx0,53;s, t2 = 12 +6,7829,8approx1,92;s

Passo 5

Agora achamos as velocidades nesses instantes usando
v(t) = 12 - 9,8,t
Para v1 = 12 -9,8,(0,53)approx12 -5,19approx6,81;m/s (para cima) s:
v2 = 12 -9,8,(1,92)approx12 -18,82approx-6,82;m/s (ou seja, 6,82 m/s para baixo)
Para s:

Resposta

A pedra está 5 m acima do ponto de lançamento em
t1 approx 0,53;s e t2 approx 1,92;s
As velocidades nesses instantes são
v1 approx +6,8;m/s e v2 approx -6,8;m/s

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